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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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mayz92

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[求助] 證明單調(diào)

(1+1/n)^n單調(diào),用a_n+1減a_n證

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1樓 2011-10-13 19:08:32

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xuyx_78

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【答案】應(yīng)助回帖

★
soliton923(金幣+1): 謝謝參與討論~~ 2011-10-13 20:33:34

將二者用二項(xiàng)式展開，逐項(xiàng)比較可知，a_(n+1)的各項(xiàng)不小于a_n的對應(yīng)項(xiàng)，而且多了一個(gè)正的項(xiàng)，所以a_(n+1)-a_n>0.

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3樓2011-10-13 19:44:34

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lizhmath

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★
soliton923(金幣+3): 謝謝參與討論~~正解�。。_@ 2011-10-13 19:42:35

用二項(xiàng)展開公式得
$a_n=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\ =1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right ).$
于是
$a_{n+1}-a_n\\ =\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left\{\left(1-\frac{1}{n+1} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1} \right )-\left(1-\frac{1}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right )\right\}+\frac{1}{(n+1)^{n+1}}.$
求和的大括號(hào)中相減兩項(xiàng)都是k－1個(gè)相乘，顯然
$1-\frac{i}{n+1}>1-\frac{i}{n}>0,\;\;i=1,\cdots,n-1$
所以該數(shù)列嚴(yán)格遞增。事實(shí)上它的極限是e。

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2樓2011-10-13 19:38:08

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yasima2

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引用回帖:

2樓: Originally posted by lizhmath at 2011-10-13 19:38:08:
用二項(xiàng)展開公式得
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n%3D1+%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ek%7D%5C%5C%20%3D1+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5 ...

我知道那種方法.我課本上就是.我問還有別的方法嗎.就是直接減

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4樓2011-10-13 20:27:10

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yasima2

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★
soliton923(金幣+1): 小孩一個(gè)，也敢在數(shù)學(xué)版自稱姐姐？？？ 2011-10-13 20:32:40

引用回帖:

且不用二項(xiàng)式展開.姐姐想了好久,一直覺得以前沒用二項(xiàng)式展開也能做出來

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5樓2011-10-13 20:29:44

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