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ww1987鐵桿木蟲 (小有名氣)
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[求助]
黎曼空間問(wèn)題
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請(qǐng)教一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題，請(qǐng)問(wèn)黎曼空間和希爾伯特空間區(qū)別是什么？ 本人所知道的是希爾伯特空間是歐式空間的一種推廣，同時(shí)黎曼空間，羅氏空間以及歐式空間是三種相互獨(dú)立但不矛盾空間概念。那希爾伯特空間就應(yīng)該是屬于歐式空間嗎？ |
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+3): 鼓勵(lì)交流 2011-11-19 20:30:51
小雨萌萌(金幣+3): 鼓勵(lì)交流 2011-11-19 20:30:51
| 希爾伯特空間和黎曼空間都是歐氏空間的推廣，不過(guò)是從兩個(gè)不同角度的推廣。希爾伯特空間和歐氏空間一樣是線性空間，事實(shí)上有限維希爾伯特空間本質(zhì)上就是歐氏空間，但希爾伯特空間可以是無(wú)窮維的，如某些函數(shù)空間和無(wú)窮序列空間等，無(wú)窮維希爾伯特空間的局部特性和歐氏空間完全不同。希爾伯特空間的特征是其上附有內(nèi)積，并且是完備的。黎曼空間的局部和歐氏空間的局部相同，可以看作一塊一塊歐氏空間以某種方式拼接起來(lái)的空間，其上賦予與歐氏距離類似的黎曼距離，只不過(guò)在這種距離下，空間可能是彎曲的，其彎曲的程度稱為曲率。如球面就是一個(gè)二維的黎曼空間，其曲率為正，而羅氏空間是具有負(fù)曲率的黎曼空間，歐氏空間是曲率為0的黎曼空間。 |
3樓2011-11-18 20:37:40
jfili
金蟲 (正式寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
ww1987(金幣+5): 2011-11-19 18:11:09
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Hilbert空間定義為完備的內(nèi)積空間，而歐氏空間是指我們常見(jiàn)的三維空間或n維空間。歐氏空間中有可以定義自然的內(nèi)積并且關(guān)于內(nèi)積度量是完備的，所以才說(shuō)Hilbert空間是普通歐氏空間的推廣 而“屬于”是集合中的一個(gè)概念，所以你所說(shuō)的‘一個(gè)空間屬于另一個(gè)空間’這本身就是不嚴(yán)格的；再者，Hilbert空間只有內(nèi)積結(jié)構(gòu)，而歐氏空間是有距離，是有微分結(jié)構(gòu)的，它的內(nèi)涵要比一般的Hilbert空間豐富的多 |
2樓2011-11-18 18:14:34
numbertheory
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4樓2011-11-26 15:22:35
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