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goodsally

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[求助] “北約”高校2011年自主招生題目求解

有一道這樣的題目
X-1 的絕對(duì)值+2X-1的絕對(duì)值+3X-1的絕對(duì)值+4X-1的絕對(duì)值......一直加到2011X-1的絕對(duì)值求最小值是多少？
如何求解？

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1樓 2011-11-19 19:25:36

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Jackie2011

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★
lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)交流 2011-11-20 10:01:43

借助不等式|a|+|b|>=|a+b|的推廣，后者取零值即所求的x=1/1006.

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學(xué)好外語，不忘數(shù)學(xué)！

2樓2011-11-19 21:35:17

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yangbo211

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3樓2011-11-19 23:38:43

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ma1274640652

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★ ★
小雨萌萌(金幣+2): 應(yīng)助回帖 2011-11-30 09:18:54

應(yīng)該是讓最中間的那個(gè)值為0，然后加和是最小的吧。2011+1=2012.2012/2=1006
所以X=1/1006時(shí)和最小。可以用不等式放縮法來證明的

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靚靚

4樓2011-11-20 14:03:10

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xxxfield

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【答案】應(yīng)助回帖

X=1/1006肯定不對(duì)。

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5樓2011-11-20 23:41:47

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【答案】應(yīng)助回帖

分段去絕對(duì)值然后求導(dǎo)，得增減性。算了一下，應(yīng)該是X=1/1422處取最小值

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6樓2011-11-21 10:54:08

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yuannian82

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+5): 應(yīng)助回帖 2011-11-30 09:19:13

不妨設(shè) ${1\over n+1}\leq x \leq {1\over n}$ ，那么
$S(x)=\sum_{i=1}^n(1-ix)+\sum_{i=n+1}^{2011}(ix-1)$
由于S(x)的單調(diào)性在n固定時(shí)與x無關(guān)，所以最小值為 $S_1=S({1\over n+1})$ 或者 $S_1=S({1\over n})$ 。
$S_1=2010+(n+1)+{2011\times 1006 \over n+1}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
$S_2=2010+n+{2011\times 1006 \over n}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
所以兩個(gè)是一樣的，不妨考慮 $S_2$ ，由均值不等式， $n^2=2011\times 1006, n=1422.35[latex]時(shí)取最小。<br /> 由連續(xù)性，只要比較[latex]S({1\over 1422})=4854.6906$ 和 $S({1\over 1423})=4854.6908$ ，所以在 $x={1\over 1422}$ 取最小值4854.6906。

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7樓2011-11-21 21:23:03

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jfili

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+3): 3Q 2011-11-30 09:19:32

說說我的想法：這里有2011個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，分別為1,1/2,1/3,....1/2001，
讓x從0開始增大：在跨過最小的點(diǎn)之前，x前的系數(shù)為負(fù)的，所以單調(diào)減小，每跨過一個(gè)點(diǎn)，x的系數(shù)都會(huì)增大，如果增加到系數(shù)大于零后，x才是單調(diào)增加的。所以我們只需找到某個(gè)點(diǎn)1/k，使得x<1/k前x的系數(shù)為負(fù)，跨過1/n后，系數(shù)大于或等于零，則在x=1/k時(shí)時(shí)取得最小值
在x<1/k時(shí)，x的系數(shù)為：F(k)=－(2001+2000+..+k)+(k-1+k-2+...+1)
只需F(k)<0,F(k-1)>=0時(shí)的k值

這個(gè)應(yīng)該很容易算了吧

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8樓2011-11-22 21:25:35

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zycj

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個(gè)人感覺四樓說得應(yīng)該對(duì)。我感覺這個(gè)問題不要考慮那么復(fù)雜。北約高校找生題不像咱們高考。

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9樓2011-11-29 15:08:31

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