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goodsally

鐵蟲(chóng) (初入文壇)

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[求助] “北約”高校2011年自主招生題目求解

有一道這樣的題目
X-1 的絕對(duì)值+2X-1的絕對(duì)值+3X-1的絕對(duì)值+4X-1的絕對(duì)值......一直加到2011X-1的絕對(duì)值求最小值是多少？
如何求解？

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1樓 2011-11-19 19:25:36

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yuannian82

金蟲(chóng) (小有名氣)

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★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+5): 應(yīng)助回帖 2011-11-30 09:19:13

不妨設(shè) ${1\over n+1}\leq x \leq {1\over n}$ ，那么
$S(x)=\sum_{i=1}^n(1-ix)+\sum_{i=n+1}^{2011}(ix-1)$
由于S(x)的單調(diào)性在n固定時(shí)與x無(wú)關(guān)，所以最小值為 $S_1=S({1\over n+1})$ 或者 $S_1=S({1\over n})$ 。
$S_1=2010+(n+1)+{2011\times 1006 \over n+1}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
$S_2=2010+n+{2011\times 1006 \over n}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
所以兩個(gè)是一樣的，不妨考慮 $S_2$ ，由均值不等式， $n^2=2011\times 1006, n=1422.35[latex]時(shí)取最小。<br /> 由連續(xù)性，只要比較[latex]S({1\over 1422})=4854.6906$ 和 $S({1\over 1423})=4854.6908$ ，所以在 $x={1\over 1422}$ 取最小值4854.6906。

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7樓2011-11-21 21:23:03

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Jackie2011

木蟲(chóng) (正式寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★
lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)交流 2011-11-20 10:01:43

借助不等式|a|+|b|>=|a+b|的推廣，后者取零值即所求的x=1/1006.

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學(xué)好外語(yǔ)，不忘數(shù)學(xué)！

2樓2011-11-19 21:35:17

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yangbo211

禁蟲(chóng) (正式寫手)

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3樓2011-11-19 23:38:43

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ma1274640652

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
小雨萌萌(金幣+2): 應(yīng)助回帖 2011-11-30 09:18:54

應(yīng)該是讓最中間的那個(gè)值為0，然后加和是最小的吧。2011+1=2012.2012/2=1006
所以X=1/1006時(shí)和最小�？梢杂貌坏仁椒趴s法來(lái)證明的

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靚靚

4樓2011-11-20 14:03:10

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