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wujy1753

銀蟲 (小有名氣)

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[求助] 求助2個(gè)群在集上的作用的課后習(xí)題

1證明：假如有限群G有一個(gè)指數(shù)為n的子群H，那么H包含一個(gè)G的一個(gè)正規(guī)子群K，|K| 整除n！。

2證明：假如G的作用是2重傳遞的，那么它是本原的。

思考了好幾天，想不出來，課后習(xí)題而已，求大俠賜教！不勝感激。

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功夫不負(fù)有心人

1樓 2011-11-19 20:40:33

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jp2007

木蟲 (初入文壇)

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【答案】應(yīng)助回帖

wujy1753(金幣+10): 謝謝 2011-11-20 16:01:34

第一題, 結(jié)論有誤, 應(yīng)該是|G:K|整除n!, 這是群作用在子群陪集集合上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果. 證明如下: 考慮群 G 在子群 H 的左陪集集合上的乘法作用, 作用核記為 K, 則 K 顯然是包含在 H 中的 G 的正規(guī)子群, 故商群 G/K 在該集合上作用是忠實(shí)的, 從而其階 |G:K| 能整除該集合元素個(gè)數(shù) n 的階乘.

第二題也是標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果, 用反證法證明. 假設(shè)群 G 在集合 X 上的作用非本原, 按定義存在一個(gè)非平凡的塊 Y, 因?yàn)?Y 中至少含有兩個(gè)點(diǎn), 記為 a, b. 同理 X-Y中至少含有一個(gè)點(diǎn) c, 此時(shí) a 和 c 不同, 故從2-傳遞的定義可知, 存在群元素 g, 把 (a, b) 變?yōu)?(a, c). 一方面, 從 ag=a 可知 Y 和 Yg 有公共點(diǎn), 只能相等; 另一方面, 從 c=bg 可知 c 也在 Y 中, 矛盾!

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jpserre

2樓2011-11-20 13:51:52

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