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wujy1753銀蟲 (小有名氣)
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[求助]
求助2個群在集上的作用的課后習題
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1證明：假如有限群G有一個指數為n的子群H，那么H包含一個G的一個正規(guī)子群K，|K| 整除n！。 2證明：假如G的作用是2重傳遞的，那么它是本原的。 思考了好幾天，想不出來，課后習題而已，求大俠賜教！不勝感激。 |
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jp2007
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【答案】應助回帖
wujy1753(金幣+10): 謝謝 2011-11-20 16:01:34
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第一題, 結論有誤, 應該是|G:K|整除n!, 這是群作用在子群陪集集合上的一個標準結果. 證明如下: 考慮群 G 在子群 H 的左陪集集合上的乘法作用, 作用核記為 K, 則 K 顯然是包含在 H 中的 G 的正規(guī)子群, 故 商群 G/K 在該集合上作用是忠實的, 從而其階 |G:K| 能整除該集合元素個數 n 的階乘. 第二題也是標準結果, 用反證法證明. 假設群 G 在集合 X 上的作用非本原, 按定義存在一個非平凡的塊 Y, 因為 Y 中至少含有兩個點, 記為 a, b. 同理 X-Y中至少含有一個點 c, 此時 a 和 c 不同, 故從2-傳遞的定義可知, 存在群元素 g, 把 (a, b) 變?yōu)?(a, c). 一方面, 從 ag=a 可知 Y 和 Yg 有公共點, 只能相等; 另一方面, 從 c=bg 可知 c 也在 Y 中, 矛盾! |
2樓2011-11-20 13:51:52
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