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peterflyer

木蟲之王 (文學(xué)泰斗)

peterflyer

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

7樓: Originally posted by xxxfield at 2012-01-04 17:10:23
對第一式關(guān)于t再求一次導(dǎo)數(shù)，然后將y, y'用第一、二式代入，得到一個關(guān)于x的(一元)二階常系數(shù)線性方程，這個方程的解有公式可用，解出x后馬上就可求出y了。

簡單的一階方程就這樣讓你搞成了復(fù)雜的二階方程。這樣一來初始邊界條件也不夠了，那又將如何呢？

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11樓2013-11-07 19:14:36

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

10樓: Originally posted by peterflyer at 2013-11-07 17:05:15
對了，Γ（2）等于1. Γ（n）=(n-1)！

續(xù)前：
X(t)=[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]+[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]*
exp{[(B*D- A*E)/(B-E)]*t}

Y(t)=(C*D-A*F)(A*E-B*D)*t+(F-C)/(B-E+A*E-B*D)+
(F-C)/(B-E+A*E-B*D)*exp{[(A*E-B*D)/(B-E)]*t}

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12樓2013-11-07 19:23:20

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【答案】應(yīng)助回帖

樓主能給個信箱，我把手算的計算過程用手機(jī)拍成圖片給你發(fā)過去。

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13樓2013-11-07 19:29:05

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【答案】應(yīng)助回帖

sweety: 應(yīng)助指數(shù)+1 2013-11-10 12:49:18
sweety: 數(shù)學(xué)EPI+1, 耐心解答 2013-11-10 12:49:37

求解過程：對方程（1）、（2）兩邊求Laplace變換，記X(s) 、Y(s)分別為x=x(t)和y=y(t)關(guān)于t的Laplace變換。由拉氏變換的性質(zhì)，有：
s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s             (3)
s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s             (4)
聯(lián)解方程（3）和（4），有：
X(s)=[k*s+(B*k-E*k+C)+(B*F-C*E)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
         +B*D]}
   =[k*s+(B*k-E*k+C)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
   +(B*F-C*E)/(A*E-B*D)*1/s
   +{[(C*E-B*F)/(A*E-B*D)]*s+(B*F-C*E)*(A+E)/(A*E-B*D)}/
      /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
Y(s)=[k*s+(F+D*k-A*k)+(C*D-A*F)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
         +B*D]}
   =[k*s+(F+D*k-A*k)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
   +[(C*D-A*F)/(A*E-B*D)]*1/s
   +{[A*F-C*D)/(A*E-B*D)]*s+(A+E)*(C*D-A*F)/(A*E-B*D)}/
      /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
對X(s)和Y(s)求拉氏反變換，得到x=x(t)和y=y(t)的表達(dá)式。查拉氏反變換表可知：1/s的拉氏反變換為1；s/[s^2+ω^2]的反變換為Cosωt;
1/[s^2+ω^2]的反變換為Sinωt; 1/[(s-δ)^2+ω^2]的反變換為
  exp(at)*Cosωt;  (s-δ)/[(s-δ)^2+ω^2]的反變換為exp(at)*Sinωt;
1/(s-a)的反變換為exp(at),同時并注意到拉氏變換與反變換均具有線性疊加的性質(zhì)，故可得到如下結(jié)果：
(1) 若-B*D-(A-E)^2/4 ≥0, 令ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此處ω≥0
則上面的X(s)和Y(s)的表達(dá)式均可通過代數(shù)中的知識表達(dá)為由1/s、(s-γ)/[(s-γ)^2+ω^2]以及1/[(s-γ)^2+ω^2]等的線性表達(dá)式。因此， x(t)與y(t)均為1、exp(γ*t)*Cosωt、exp(γ*t)*Sinωt等的線性表達(dá)式，只不過各自的系數(shù)不同而已。由于表達(dá)式過于復(fù)雜，這里就不具體寫出了。
（2）若-B*D-(A-E)^2/4 ≤0，令-ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此處ω≥0
此時，X(s)和Y(s)均可表達(dá)為1/s、1/(s-γ)、1/(s+γ)等的線性表達(dá)式，因此， x(t)與y(t)均為1、exp(γ*t）、exp(-γ*t)等的線性表達(dá)式，只不過各自的系數(shù)不同而已。由于表達(dá)式過于復(fù)雜，這里就不具體寫出了。

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14樓2013-11-10 11:38:50

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15樓2014-05-05 23:59:47

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引用回帖:

14樓: Originally posted by peterflyer at 2013-11-10 11:38:50
求解過程：對方程（1）、（2）兩邊求Laplace變換，記X(s) 、Y(s)分別為x=x(t)和y=y(t)關(guān)于t的Laplace變換。由拉氏變換的性質(zhì)，有：
s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s (3)
s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s ...

這是用的變分法么？

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一切靈感，一切信仰，一切時代的結(jié)晶，一切人類天才的光華，都將隨著太陽系的崩潰而毀滅，人類全部的成就神殿將不可避免的被埋藏在宇宙的廢墟之中，所有這一切，

16樓2014-05-13 00:12:39

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16樓: Originally posted by 量子若水 at 2014-05-13 00:12:39
這是用的變分法么？...

不是變分法，是拉普拉斯變換法。

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17樓2014-05-13 08:05:28

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17樓: Originally posted by peterflyer at 2014-05-13 08:05:28
不是變分法，是拉普拉斯變換法。...

雖然是變換到了s空間，但方程的解析式還是沒有得出來。是不是變過去再轉(zhuǎn)回來更麻煩了。

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18樓2014-05-13 15:14:52

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18樓: Originally posted by 量子若水 at 2014-05-13 15:14:52
雖然是變換到了s空間，但方程的解析式還是沒有得出來。是不是變過去再轉(zhuǎn)回來更麻煩了。
...

對于像本題這樣的情形，方程的解析式很容易求出來的，我已經(jīng)寫得比較明白了。當(dāng)然，對于其他復(fù)雜的情形，拉氏變換和其逆變換會存在很大的難度的。這就是今天各種解析法發(fā)展不快而數(shù)值解法發(fā)展迅速的原因。

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19樓2014-05-13 16:35:11

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引用回帖:

19樓: Originally posted by peterflyer at 2014-05-13 16:35:11
對于像本題這樣的情形，方程的解析式很容易求出來的，我已經(jīng)寫得比較明白了。當(dāng)然，對于其他復(fù)雜的情形，拉氏變換和其逆變換會存在很大的難度的。這就是今天各種解析法發(fā)展不快而數(shù)值解法發(fā)展迅速的原因。...

嗯！很佩服你的數(shù)學(xué)，只是很多的物理問題都用數(shù)值求解，失去了原來解析解的那種簡潔，解析解中包含了很多的數(shù)學(xué)思想，數(shù)值求解的那種無限取近似的我一開始接觸的時候真有點(diǎn)接受不了。

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20樓2014-05-13 19:01:33

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