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小蘭花

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[求助] 求解一個微分方程，謝謝。

已知A，B為常數(shù)，
求解下面的微分方程(見附圖)。
最好可以寫出關(guān)鍵步驟，謝謝。

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1樓 2012-02-09 13:34:08

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soliton923

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soliton923: 回帖置頂 2012-02-09 17:57:36

引用回帖:

10樓: Originally posted by 小蘭花 at 2012-02-09 16:23:02:
謝謝版主。
下一步的步驟該如何寫呢？

我知道方程是指數(shù)形式的解。

when $AB \neq 0$
設(shè) $y^2=t$ ,那么原方程可以變?yōu)?img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{dt}{dx}=A \sqrt{t}+ B t">
方程變?yōu)?img src="http://www.codecogs.com/gif.latex? \frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =dx ">

兩邊積分： $\int \frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =\int dx$

化簡： $\int \frac{dt}{ \sqrt{t}} \frac{1}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

得到： $2 \int \frac{d\sqrt{t}}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

最后： $\frac{2}{B} \ln{(A+B \sqrt{t})}=x+c$

結(jié)論： $A+B y=e^{\frac{B}{2}( x+c)}$

[ Last edited by soliton923 on 2012-2-9 at 16:44 ]

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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method

11樓2012-02-09 16:36:39

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pengyehui

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
soliton923: 歡迎專家回歸~~ 2012-02-09 16:14:27

首先 y=0是一個特解，另外
方程可化為
  dy/dx=A-By
dy/(A-By)=dx
1. 如果B=0，方程的解為  y=Ax+C  (C為常數(shù))
2. B不等于0，方程的解為
   ln(A-By)=-Bx+C

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3樓2012-02-09 14:09:18

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dxwbucea

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

這是個二階常微分方程，并且可以用降階的方法降階，之后就能夠求解了。
注意原題方程左邊的分母dx，應(yīng)有個指數(shù)2次方，即dx^2.

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2樓2012-02-09 14:08:48

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★
soliton923(金幣+1): 謝謝參與討論~~~題目沒有錯，這個問題比較簡單，沒有你想的這么復(fù)雜，~~歡迎常來數(shù)學(xué)版 2012-02-09 16:15:10

理論上是可以進(jìn)行降階來求的，但是具體到這個題目，方程右邊有y的平方，確實不好解。用Mathematica求解后的結(jié)果是：

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4樓2012-02-09 14:34:04

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zhumaolong

soliton923(違規(guī)存檔): 請認(rèn)真回帖，警告一次 2012-02-09 16:07:59

5樓2012-02-09 14:58:28

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ssszhangxx

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題目表述的有問題
如果lz的表述的正確的，這是個小問題。

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6樓2012-02-09 15:04:49

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引用回帖:

樓: Originally posted by ssszhangxx at 2012-02-09 15:04:49:
題目表述的有問題
如果lz的表述的正確的，這是個小問題。

題目表述是正確的。是個小問題
但現(xiàn)在我不會做了，你是否愿意幫推導(dǎo)一下。謝謝。

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7樓2012-02-09 15:14:06

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8樓2012-02-09 15:19:51

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
小蘭花(金幣+20): ★★★★★最佳答案非常感謝版主。 2012-02-09 17:53:55

引用回帖:

7樓: Originally posted by 小蘭花 at 2012-02-09 15:14:06:
題目表述是正確的。是個小問題
但現(xiàn)在我不會做了，你是否愿意幫推導(dǎo)一下。謝謝。

設(shè) $y^2=t$ ,那么原方程可以變?yōu)?img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{dt}{dx}=A \sqrt{t}+ B t">

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9樓2012-02-09 16:10:34

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樓: Originally posted by soliton923 at 2012-02-09 16:10:34:
設(shè) $y^2=t$ ,那么原方程可以變?yōu)?img src="http://www.codecogs.com/gif.latex?\frac{dt}{dx}=A \sqrt{t}+ B t">
[ Last edited by soliton923 on 2012-2-9 at 16:13 ]

謝謝版主。
下一步的步驟該如何寫呢？

我知道方程是指數(shù)形式的解。

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10樓2012-02-09 16:23:02

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