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微塵、夢想

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[求助] 隱式歐拉法求解一階常微分方程

算法：

MATLAB程序：

CODE:

Format long;

N=(b-a)/h;

y=zeros(N+1,1);

y(1)=y0;

x=a:h:b;

var=findsym(f);

for i=2:N+1

   fx=Funval(f,var(1),x(i));

   gx=y(i-1)+h*fx-varvec(2);

   y(i)=NewtonRoot(gx,-10,10,eps);%用牛頓法得出下步的迭代值

end

format short;

其中，F(xiàn)unval是求函數(shù)f在點(var(1),x(i))處的值

PS：顯示法求解常微分方程的算法都用C語言實現(xiàn)，但隱式法不知道怎么實現(xiàn)，主要是不知道如何求后一個點的導(dǎo)數(shù)值，希望高人給指點一下，呵呵……

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任風(fēng)云變幻，我笑對人生！

1樓 2012-02-23 12:20:33

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sudo

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
余澤成(金幣+1): 謝謝參與應(yīng)助！ 2012-02-25 04:34:01
微塵、夢想(金幣+30): ★★★★★最佳答案謝謝，sudo教會了我很多東西呀，呵呵…… 2012-02-27 13:57:13

隱式歐拉法迭代式右邊f(xié)(x[n+1], y[n+1])里面的y[n+1]，其實也只是用估計的方法得出來的

一般可以用歐拉法（或者牛頓法和其他別的什么方法）得到它的估計值，所以這個過程實際上是：

CODE:

yt[n+1] = y[n] + h * f(x[n], y[n]);

y[n+1] = y[n] + h * f(x[n+1], yt[n+1]);

梯形法什么的類似，迭代式中f里面的y[n+1]，無論怎樣都是需要某種方法先估計出來的

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2樓2012-02-23 13:25:46

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sudo

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恩，如果不要求通用的方法，只需要針對特定函數(shù)的話，也可以先化簡迭代式，或者可能可以直接導(dǎo)出y[n+1]的公式什么的~

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3樓2012-02-23 13:29:11

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引用回帖:

3樓: Originally posted by sudo at 2012-02-23 13:29:11:
恩，如果不要求通用的方法，只需要針對特定函數(shù)的話，也可以先化簡迭代式，或者可能可以直接導(dǎo)出y[n+1]的公式什么的~

那個MATLAB程序就是用牛頓法得到的下一個值，不過，不知道牛頓法的算法是什么呀，我只知道用牛頓法解方程的公式：
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f`(x[n])
這是一種切線法，從一端向一個方向逼近方程的根，可是跟這個聯(lián)系不到一塊呀

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任風(fēng)云變幻，我笑對人生！

4樓2012-02-23 13:38:29

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sudo

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余澤成(金幣+2): 謝謝參與應(yīng)助！ 2012-02-25 04:34:19

引用回帖:

4樓: Originally posted by 微塵、夢想 at 2012-02-23 13:38:29:
那個MATLAB程序就是用牛頓法得到的下一個值，不過，不知道牛頓法的算法是什么呀，我只知道用牛頓法解方程的公式：
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f`(x[n])
這是一種切線法，從一端向一個方向逼近方程的根，可是跟這個聯(lián) ...

牛頓法是用來做什么的呢？一般是用來求非線性方程的根的：

對于f(x)=0
迭代式x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f`(x[n])
迭代的結(jié)果就是f(x)=0的數(shù)值解

=============================================

對于y[n+1] = y[n] + h * f(x[n+1], y[n+1])

CODE:

   fx=Funval(f,var(1),x(i)); %里面的x(i)就相當(dāng)于x[n+1]，var(1)是一個符號變量（其實是等下要求解的y[n+1]），把它們代入到f中之后，得到一個符號表達式

   gx=y(i-1)+h*fx-varvec(2); %其實這里就是方程g(x)=0左邊的g(x)，就是y[n] + h*fx - y[n+1] = 0這個方程，里面y[n]是上一步知道的值，fx是含有變量y[n+1]的式子，外面的y[n+1]也視為變量

   y(i)=NewtonRoot(gx,-10,10,eps); %這就是用牛頓法來解非線性方程了

也就是說，這段MATLAB程序里面涉及了符號的運算

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5樓2012-02-23 15:34:57

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如果它的方法要通用的話，在NewtonRoot還必須對gx進行一次符號求導(dǎo)（用diff函數(shù)），所以這個方法其實比較蛋疼

還不如直接用前向歐拉給估計了...

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6樓2012-02-23 15:41:38

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6樓: Originally posted by sudo at 2012-02-23 15:41:38:
如果它的方法要通用的話，在NewtonRoot還必須對gx進行一次符號求導(dǎo)（用diff函數(shù)），所以這個方法其實比較蛋疼

還不如直接用前向歐拉給估計了...

嗯，我也就是想把它搞明白它到底是如何工作的，解常微分方程的顯示解法，我都搞明白了，從最簡單的歐拉法到四階龍格-庫塔法，不過我在網(wǎng)上找到一篇關(guān)于算法分析的文章，結(jié)論是隱式算法的穩(wěn)定性普遍比顯式算法高，且只有隱式歐拉方法才是絕對穩(wěn)定的。
也沒仔細看，反正用四階龍格-庫塔法的精度已經(jīng)非常高了，呵呵……
這是文章的地址：
http://wenku.baidu.com/view/8bcb52492e3f5727a4e96207.html

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7樓2012-02-23 16:50:00

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余澤成(金幣+1): 鼓勵討論！ 2012-02-25 04:34:54

引用回帖:

7樓: Originally posted by 微塵、夢想 at 2012-02-23 16:50:00:
嗯，我也就是想把它搞明白它到底是如何工作的，解常微分方程的顯示解法，我都搞明白了，從最簡單的歐拉法到四階龍格-庫塔法，不過我在網(wǎng)上找到一篇關(guān)于算法分析的文章，結(jié)論是隱式算法的穩(wěn)定性普遍比顯式算法高， ...

嗯，隱式歐拉的確是有它的意義的。。。不過你好像誤會了我的意思

我說的是估計y[n+1]那里不用牛頓法而用顯式歐拉法來做會方便點

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8樓2012-02-23 17:19:55

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