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高數(shù)中全微分的一些疑惑
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函數(shù)在點(diǎn)(x , y)的全增量 Δz=AΔx + BΔy + ο(ρ) ρ＝( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2這里面的ρ為什么要等( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2，這是怎么來的，是不是由于函數(shù)，沿著X 或Y的方向（因?yàn)槠ⅲ┻@就好像和后邊學(xué)的梯度函數(shù)一樣的道理呢？請高手解答 另外對于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，z= φ（υ，ν）我們對x求偏微時(shí)，意思是整個(gè)函數(shù)中y不變，然而，我們再對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)發(fā)現(xiàn)先令ν不變，對υ求偏微（假使也對x求偏微即y不變）而這時(shí)ν中也含有x，難道說這時(shí)ν不會發(fā)生變化嗎？因此這時(shí)的ν是定不住的，請高手給與解釋 |
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ρ是點(diǎn)(x+Δx,y+Δy)到(x,y)的距離,引進(jìn)微分的最初目的就是希望當(dāng)點(diǎn)由(x,y)變?yōu)槠溧忺c(diǎn)(x+Δx,y+Δy)時(shí),能夠用自變量增量的線性組合來近似計(jì)算函數(shù)值的全增量(從幾何上講,就是希望在一個(gè)點(diǎn)的附近用一小塊平面來近似這個(gè)點(diǎn)附近的曲面片).現(xiàn)在大部分的教材上是先講導(dǎo)數(shù),再講微分,但事實(shí)上微分思想要早于求導(dǎo)數(shù)(可以參考於崇華,金路等編《數(shù)學(xué)分析》). 多元復(fù)合函數(shù)中，u,v具有雙重身份，它們是外層函數(shù)φ的自變量，又是內(nèi)層函數(shù)的因變量。而在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，z關(guān)于u,v求導(dǎo)時(shí)，是外層函數(shù)φ求導(dǎo)。這時(shí)u，v是自變量，故可以暫時(shí)固定v對u求偏導(dǎo)。 |
2樓2012-05-17 21:41:14
3樓2012-05-18 11:14:27
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ρ是距離,可以同時(shí)控制x,y的變化.ρ趨向零等價(jià)于x,y同時(shí)趨向于0; 也可以選擇其他的定義方式來寫ρ, 但是這里的ρ形式最簡單的, 可以自己試試. 求導(dǎo)和微分都是局部概念, 在小鄰域里算極限, 你說的固定問題只要看一下鏈?zhǔn)椒▌t用極限定義的證明表達(dá)式就可以了, 特別是看看為什么鏈?zhǔn)椒▌t里面要有幾部分. |
4樓2012-05-18 17:00:51
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5樓2012-05-19 21:31:09
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