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高數(shù)中全微分的一些疑惑
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函數(shù)在點(x , y)的全增量 Δz=AΔx + BΔy + ο(ρ) ρ＝( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2這里面的ρ為什么要等( (Δx) ∧2+（Δy)∧2)∧1\2，這是怎么來的，是不是由于函數(shù)，沿著X 或Y的方向（因為偏微）這就好像和后邊學(xué)的梯度函數(shù)一樣的道理呢？請高手解答 另外對于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，z= φ（υ，ν）我們對x求偏微時，意思是整個函數(shù)中y不變，然而，我們再對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時發(fā)現(xiàn)先令ν不變，對υ求偏微（假使也對x求偏微即y不變）而這時ν中也含有x，難道說這時ν不會發(fā)生變化嗎？因此這時的ν是定不住的，請高手給與解釋 |
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【答案】應(yīng)助回帖
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ρ是點(x+Δx,y+Δy)到(x,y)的距離,引進微分的最初目的就是希望當點由(x,y)變?yōu)槠溧忺c(x+Δx,y+Δy)時,能夠用自變量增量的線性組合來近似計算函數(shù)值的全增量(從幾何上講,就是希望在一個點的附近用一小塊平面來近似這個點附近的曲面片).現(xiàn)在大部分的教材上是先講導(dǎo)數(shù),再講微分,但事實上微分思想要早于求導(dǎo)數(shù)(可以參考於崇華,金路等編《數(shù)學(xué)分析》). 多元復(fù)合函數(shù)中，u,v具有雙重身份，它們是外層函數(shù)φ的自變量，又是內(nèi)層函數(shù)的因變量。而在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，z關(guān)于u,v求導(dǎo)時，是外層函數(shù)φ求導(dǎo)。這時u，v是自變量，故可以暫時固定v對u求偏導(dǎo)。 |
2樓2012-05-17 21:41:14
3樓2012-05-18 11:14:27
whyhow
鐵桿木蟲 (著名寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
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ρ是距離,可以同時控制x,y的變化.ρ趨向零等價于x,y同時趨向于0; 也可以選擇其他的定義方式來寫ρ, 但是這里的ρ形式最簡單的, 可以自己試試. 求導(dǎo)和微分都是局部概念, 在小鄰域里算極限, 你說的固定問題只要看一下鏈式法則用極限定義的證明表達式就可以了, 特別是看看為什么鏈式法則里面要有幾部分. |
4樓2012-05-18 17:00:51
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5樓2012-05-19 21:31:09
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