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1樓 2012-05-19 14:05:51

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pengyehui

木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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泰勒展式只在展開(kāi)點(diǎn)附近按點(diǎn)逼近！
插值多項(xiàng)式倒可以在給定區(qū)間上逼近函數(shù)！

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2樓2012-05-19 18:57:59

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lipingzhu

木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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泰勒多項(xiàng)式展開(kāi)是在一個(gè)點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的問(wèn)題，就如同導(dǎo)數(shù)是個(gè)局部概念，理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就自然理解泰勒展開(kāi)式對(duì)任意函數(shù)只是在某點(diǎn)處可以任意逼近的含義了。要在整體上來(lái)逼近一個(gè)函數(shù)，這是另一個(gè)問(wèn)題了。

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3樓2012-05-20 14:08:12

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leoxtu

銅蟲(chóng) (小有名氣)

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

泰勒展開(kāi)是在函數(shù)的某一點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式逼近。
對(duì)一個(gè)函數(shù)y=f(x)，知道函數(shù)在(x0,y0)的函數(shù)值，以及各階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，就能在這個(gè)點(diǎn)（注意只是一個(gè)點(diǎn)）找一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近它。得到的逼近函數(shù)（泰勒展開(kāi)公式）在（x0,y0）附近的函數(shù)值，以及各階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與原函數(shù)y=f(x)是一樣的。
泰勒展開(kāi)只是在某一點(diǎn)展開(kāi)，并不是一個(gè)全局的概念。也就是說(shuō)，在(x0,y0)得到的展開(kāi)式，只在(x0,y0)點(diǎn)附近效果比較好。
如果要對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行整體的逼近，去學(xué)習(xí)數(shù)值分析中的多項(xiàng)式插值。

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4樓2012-05-20 16:11:44

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sososwim

金蟲(chóng) (小有名氣)

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

多項(xiàng)式如果對(duì)于給定的多個(gè)點(diǎn)逼近函數(shù)的話(huà)，會(huì)有龍格現(xiàn)象，而對(duì)于不給定點(diǎn)以均值最小等方式擬合的函數(shù)方法稱(chēng)為函數(shù)逼近，一般有最佳平方逼近和最佳一致逼近兩種。

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5樓2012-05-22 13:53:37

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abcd702848

金蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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泰勒大部分都是關(guān)于某一個(gè)點(diǎn)鄰域展開(kāi)的不過(guò) 像exp(x)這種其實(shí)其收斂區(qū)間是整個(gè)無(wú)窮區(qū)間而sinx這種則是有一個(gè)區(qū)間的所以泰勒這種關(guān)鍵看對(duì)應(yīng)的收斂區(qū)間的大小

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我想要的，我一定爭(zhēng)��；我想要的，但是不符合客觀實(shí)際的，我會(huì)看著

6樓2014-02-05 22:50:13

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寧?kù)o的清晨

銀蟲(chóng) (初入文壇)

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【答案】應(yīng)助回帖

你是想問(wèn)Taylor公式的問(wèn)題還是函數(shù)的多項(xiàng)式逼近？按我的理解，這兩個(gè)是不同的。
對(duì)于Taylor級(jí)數(shù)，若函數(shù)在某一點(diǎn)是解析的，則該函數(shù)在這點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)存在且一致收斂于原函數(shù)；若函數(shù)在這點(diǎn)不是解析的，直到n階可導(dǎo)，那么就有n次Taylor多項(xiàng)式可以近似原來(lái)的函數(shù)，相當(dāng)于把Taylor級(jí)數(shù)截?cái)嗟絥次項(xiàng)。Taylor級(jí)數(shù)或者說(shuō)Taylor公式是函數(shù)局部性質(zhì)的體現(xiàn)，通過(guò)局部性質(zhì)逼近整體函數(shù)。
而對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（不必可導(dǎo)），由Weierstrass第一逼近定理，存在多項(xiàng)式序列，在這個(gè)閉區(qū)間上一致收斂于原來(lái)的連續(xù)函數(shù)。這是區(qū)間上的整體收斂性質(zhì)，與局部性質(zhì)無(wú)關(guān)，但要注意，被逼近的函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)！

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7樓2015-03-17 09:10:11

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終之太刀—曉

鐵桿木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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1.Taylor展開(kāi)公式如何得出，查閱微積分?jǐn)?shù)學(xué)史相關(guān)書(shū)籍；
2.此多項(xiàng)式是在一點(diǎn)的充分光滑逼近，但實(shí)際問(wèn)題并不適合用來(lái)逼近整個(gè)函數(shù)。

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PreferenceforMathematics

8樓2015-03-17 11:10:21

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