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1樓 2012-05-19 14:05:51

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pengyehui

木蟲 (正式寫手)

數(shù)學(xué)EPI: 3
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專業(yè): 計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算

泰勒展式只在展開點(diǎn)附近按點(diǎn)逼近！
插值多項(xiàng)式倒可以在給定區(qū)間上逼近函數(shù)！

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2樓2012-05-19 18:57:59

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lipingzhu

木蟲 (正式寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

泰勒多項(xiàng)式展開是在一個(gè)點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的問題，就如同導(dǎo)數(shù)是個(gè)局部概念，理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就自然理解泰勒展開式對任意函數(shù)只是在某點(diǎn)處可以任意逼近的含義了。要在整體上來逼近一個(gè)函數(shù)，這是另一個(gè)問題了。

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3樓2012-05-20 14:08:12

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leoxtu

銅蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 3 (幼兒園)
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專業(yè): 信息安全

【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

泰勒展開是在函數(shù)的某一點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式逼近。
對一個(gè)函數(shù)y=f(x)，知道函數(shù)在(x0,y0)的函數(shù)值，以及各階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，就能在這個(gè)點(diǎn)（注意只是一個(gè)點(diǎn)）找一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近它。得到的逼近函數(shù)（泰勒展開公式）在（x0,y0）附近的函數(shù)值，以及各階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與原函數(shù)y=f(x)是一樣的。
泰勒展開只是在某一點(diǎn)展開，并不是一個(gè)全局的概念。也就是說，在(x0,y0)得到的展開式，只在(x0,y0)點(diǎn)附近效果比較好。
如果要對一個(gè)函數(shù)進(jìn)行整體的逼近，去學(xué)習(xí)數(shù)值分析中的多項(xiàng)式插值。

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4樓2012-05-20 16:11:44

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sososwim

金蟲 (小有名氣)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

多項(xiàng)式如果對于給定的多個(gè)點(diǎn)逼近函數(shù)的話，會有龍格現(xiàn)象，而對于不給定點(diǎn)以均值最小等方式擬合的函數(shù)方法稱為函數(shù)逼近，一般有最佳平方逼近和最佳一致逼近兩種。

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5樓2012-05-22 13:53:37

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abcd702848

金蟲 (正式寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

泰勒大部分都是關(guān)于某一個(gè)點(diǎn)鄰域展開的不過像exp(x)這種其實(shí)其收斂區(qū)間是整個(gè)無窮區(qū)間而sinx這種則是有一個(gè)區(qū)間的所以泰勒這種關(guān)鍵看對應(yīng)的收斂區(qū)間的大小

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我想要的，我一定爭�。晃蚁胍�，但是不符合客觀實(shí)際的，我會看著

6樓2014-02-05 22:50:13

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寧靜的清晨

銀蟲 (初入文壇)

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專業(yè): 計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算

【答案】應(yīng)助回帖

你是想問Taylor公式的問題還是函數(shù)的多項(xiàng)式逼近？按我的理解，這兩個(gè)是不同的。
對于Taylor級數(shù)，若函數(shù)在某一點(diǎn)是解析的，則該函數(shù)在這點(diǎn)的Taylor級數(shù)存在且一致收斂于原函數(shù)；若函數(shù)在這點(diǎn)不是解析的，直到n階可導(dǎo)，那么就有n次Taylor多項(xiàng)式可以近似原來的函數(shù)，相當(dāng)于把Taylor級數(shù)截?cái)嗟絥次項(xiàng)。Taylor級數(shù)或者說Taylor公式是函數(shù)局部性質(zhì)的體現(xiàn)，通過局部性質(zhì)逼近整體函數(shù)。
而對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（不必可導(dǎo)），由Weierstrass第一逼近定理，存在多項(xiàng)式序列，在這個(gè)閉區(qū)間上一致收斂于原來的連續(xù)函數(shù)。這是區(qū)間上的整體收斂性質(zhì)，與局部性質(zhì)無關(guān)，但要注意，被逼近的函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)！

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7樓2015-03-17 09:10:11

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終之太刀—曉

鐵桿木蟲 (著名寫手)

數(shù)學(xué)愛好者

數(shù)學(xué)EPI: 7
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注冊: 2014-10-12
性別: MM
專業(yè): 偏微分方程

【答案】應(yīng)助回帖

1.Taylor展開公式如何得出，查閱微積分?jǐn)?shù)學(xué)史相關(guān)書籍；
2.此多項(xiàng)式是在一點(diǎn)的充分光滑逼近，但實(shí)際問題并不適合用來逼近整個(gè)函數(shù)。

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PreferenceforMathematics

8樓2015-03-17 11:10:21

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