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m＊n矩陣A的秩為r,為什么n元齊次線性方程組Ax＝0的解集的秩為n-r？求日解釋

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1樓 2012-05-23 16:25:27

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【答案】應(yīng)助回帖

再?gòu)牧硪粋€(gè)方面也說(shuō)明一下;
設(shè)A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩陣A中的第i列列向量,且Ai是n歐氏空間R^n中的元素，因?yàn)锳的秩是r，所以由向量A1,A2,...An張成的子空間
W=span{A1,A2,...,An}是r維的，
而方程Ax=0的解對(duì)應(yīng)的向量x就是與子空間W垂直的向量，即解向量x構(gòu)成子空間W的正交補(bǔ)，正交補(bǔ)的維數(shù)是n-r

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3樓2012-05-23 17:24:14

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math2000

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

從一個(gè)方面簡(jiǎn)單說(shuō)明，不知道樓主能否看明白：
設(shè)A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩陣A中的第i列列向量
因?yàn)锳的秩是r，向量組A1,A2,...An的極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是r，即
A1,A2,...An中有r個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，而任意r+1個(gè)以上的向量是線性相關(guān)的，為了說(shuō)明方便，不妨設(shè)A1，..Ar是A1,A2,...An中的極大線性無(wú)關(guān)組，
所以向量Ar+1可以被A1，..Ar線性表示，其表示的系數(shù)就是Ax=0的一個(gè)解（補(bǔ)齊0），
向量Ar+2也可以被A1，..Ar線性表示，其表示的系數(shù)就是Ax=0的一個(gè)解（補(bǔ)齊0），
...
向量An也可以被A1，..Ar線性表示，其表示的系數(shù)就是Ax=0的一個(gè)解（補(bǔ)齊0），
這些解正好n-r

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2樓2012-05-23 17:18:38

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引用回帖:

3樓: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:24:14:
再?gòu)牧硪粋€(gè)方面也說(shuō)明一下;
設(shè)A=,其中Ai是矩陣A中的第i列列向量,且Ai是n歐氏空間R^n中的元素，因?yàn)锳的秩是r，所以由向量A1,A2,...An張成的子空間
W=span{A1,A2,...,An}是r維的，
而方程Ax=0的解對(duì)應(yīng)的向量x就是與

這個(gè)沒(méi)學(xué)過(guò)。。。。額

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4樓2012-05-23 17:51:26

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引用回帖:

2樓: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:18:38:
從一個(gè)方面簡(jiǎn)單說(shuō)明，不知道樓主能否看明白：
設(shè)A=,其中Ai是矩陣A中的第i列列向量
因?yàn)锳的秩是r，向量組A1,A2,...An的極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是r，即
A1,A2,...An中有r個(gè)向量是線性無(wú)關(guān)的，而任意r+1個(gè)以上的向

為什么是Ax＝0的解，而不是Ax＝Ai（i＝r+1,r+2...）的解

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5樓2012-05-23 17:57:06

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