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ChemiAndy木蟲 (正式寫手)
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[交流]
雜談量子化學中的簡化招數(shù)，和SCC-DFTB模型 已有20人參與
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組里面有個老兄專搞SCC-DFTB。有一次我用SCC-DFTB算了個東西，作報告時稱SCC-DFTB為半經(jīng)驗DFT理論，他不同意，說應該是近似DFT理 論， approximated DFT。到底“半經(jīng)驗”和“近似”有什么區(qū)別，今天就來梳理一下量子化學里都有哪些簡化的招數(shù)，特別是SCC-DFTB是怎么回事。純屬個人理解，如有錯誤，請予指正。 1. 什么是從頭算？從頭算包含了哪些近似？ 量子化學包括哪些簡化招數(shù)呢？還得先從HF（ab initio從頭算理論）說起。首先，量子理論的本質(zhì)是態(tài)疊加理論，或不確定性。即只能知道它有些確定的能級狀態(tài)（可觀測到的態(tài)，又叫本征態(tài)），但不知道具體在哪個狀態(tài)，只 知道它是這些狀態(tài)的某種疊加（混合態(tài)）。量子化學計算的是電子在原子核外的排布狀態(tài)。電子是量子，因此首先把電子所有的確定性狀態(tài)，即軌道，都找出來，然后根據(jù)疊加態(tài)原理線性組合成原子軌 道，原子軌道再疊加成分子軌道。用來表示軌道的數(shù)學函數(shù)，稱為基函數(shù)，有兩個要求，正交性和完備性。正交性是指狀態(tài)之間無關（確保是本征態(tài)），完備性是說要盡 可能找到所有狀態(tài)，越完備其疊加態(tài)描述越準確。（QM計算中基函數(shù)用Slater函數(shù)，每個slater基函數(shù)再由多個gaussian基函數(shù)表示，后者又稱基 組�；M越大越精確就是指完備性）。然而，實際計算中，不可能包括所有的軌道，一般只考慮占據(jù)軌道；對于每個占據(jù)軌道，也只使用有限個基函數(shù)來表示。這就是狀態(tài)完備性近似。 除了無法使用完全基組造成的“狀態(tài)完備性不足”這個近似，還有一些其它近似。第一個近似，是假定原子核固定，原子核的量子效應不考慮。這就是Born-Oppenheimer近似。這個容易理解，因為原子核比電子重的多啊，運動也比電子慢的多，所以假定原子核每動一下，電子都可以迅速找到能量最低的排布方式，緊貼原子核的基態(tài)勢能面運動，而不會被拋到高能軌道態(tài)。所以BO近似又叫絕熱近似。但是，在實際運動中，電子并不總是能跟上原子核的運動，有個滯后或能級波動，所以這是一個近似。 第二個近似，是從頭算中的HF中心場近似。這是個從頭算理論誤差的關鍵。本來，為了表示電子-電子之間的相互作用軌道的影響，就需要依次計算某個電子與其它電子之間的兩兩作用，但為了節(jié)約時間，實際直接計算某個電子與所有其他電子的總作用，相當于該電子在其它電子形成的平均場下的排斥作用。這樣一來，我們就能把電子的單個哈密頓一一分開 來，得到每個電子的波函數(shù)，并乘起來得到總波函數(shù)。然后自洽求解薛定諤方程，最后得到對應能量最低的系數(shù)矩陣，即態(tài)疊加系數(shù)。這個近似把復雜的兩兩作用轉(zhuǎn) 化成單體和環(huán)境的作用，減少了計算量。 然而，中心場近似是平均效應，忽略了“在電子運動的任一瞬時，不允許兩個電子同時出現(xiàn)在同一位置”這一禁忌，稱為電子相關效應，所以純HF計算得到的比實際能 量要高(每電子～20kcal/mol)。電子相關能占到總能量up to 5%左右，因此需要用各種方法修正。怎么修正呢？要么，你去算電子兩兩作用，這種計算對于小的體系也很慢的；要么，用變分法或微擾法。比如，因為HF忽略了 瞬時排斥，電子必然排的密了，那我構造一些比較松弛的態(tài)，把這些松弛的態(tài)的可能貢獻包括進來（松弛態(tài)中排斥能較低嘛）。怎么構造松弛態(tài)呢？就是某個電子從當前占據(jù)態(tài)跳到外層某個未占據(jù)的激發(fā)態(tài)的狀態(tài)。這就是變分法的思想。包括進來的松弛態(tài)越多越精確。另外一個電子電子相關方法是微擾，通過能量對電子狀態(tài)變化的泰勒展開進行修正。我們知道HF狀態(tài)并非能量最低點，因此，通過對當前勢能對電子狀態(tài)變化的多級展開，可以從數(shù)學上近似確定一個附近的能量最小點（電子狀態(tài)還是通過構造那些松弛態(tài)得到）。二級微擾展開是MP2,三級是MP3......比較而言，變分法是一種物理方法，能保證最終得到的能量不低于真實態(tài)能量，而微擾法為數(shù)學方法，結(jié)果依賴于你當前HF狀態(tài)的準 確性，即如果當前HF狀態(tài)描述的能量-狀態(tài)的導函數(shù)性質(zhì)不正確，可能得到糟糕的結(jié)果。變分和微擾都是對近似計算的補救措施，目的是為了獲得電子相關。這些計算極為緩慢和昂貴。 2. 什么是DFT？DFT包含哪些近似？ 我們知道DFT計算的跟HF差不多快，卻能大致包括電子相關，為什么會有這樣的好事兒呢？首先說，HF與DFT本質(zhì)一樣是量子 理論，因此都需要構建本征態(tài)，并進行疊加計算。HF是所有電子的盡可能完備的各軌道狀態(tài)的波函數(shù)，DFT呢，叫Kohn-Sham軌道。無論何種軌道，都遵循越 完備越精確的道理；不同的是，它們的哈密頓（動能+勢能）求法卻不一樣： HF的勢能是從電子-平均場作用一一計算而來，可后續(xù)處理相關；而DFT的電子間勢能作用卻是直接定義為電子密度的某個關系，這樣在自洽中，直接由密度一步跳到包括 了排斥能-交換相關能的結(jié)果。那么它的準確性，就主要維系于這個“密度-能量”的關系了。這個是個什么樣的能量-密度關系呢？ 除了動能，和中心場近似下的軌道間作用勢能，DFT還包括一個交換相關泛函XC，它是計算相關效應的關鍵。但是這個“能量-交換相關作用”的關系沒人能說的清，因此，一般把它處理成各點電子密度的多級展開，即把能量展開為電子密度的函數(shù)（以0密度為參考態(tài)），由電子密度得到動能，排斥能，交換相關能。交換相關能對密度的一級展開，是LDA，二級展開是GGA, 三級展開是meta-GGA， 展開級數(shù)越高，越能描述能量對電子密度變化的復雜關系。其實這個“密度-能量”關系有點像個黑箱。這個黑箱的構造可以由高等級的量化計算去經(jīng)驗的尋找。不幸的是，這種關系往往因為體系的不同而變化。比如固體物理學家愛用的PBE算固體行，算氣態(tài)分子就不行，生成焓要差上幾十個千卡每摩爾，所以搞化學的要用BLYP或XLYP(Xin Xu, 2004)，這是因為因為不同體系中存在著復雜的效應嘛。此外，不同泛函構造思路以及參數(shù)化都影響它的質(zhì)量。 3. 什么是半經(jīng)驗？半經(jīng)驗有哪些簡化的招數(shù)和提高準確度的招數(shù)？ 在介紹DFT的簡化之前，我們先談談從頭算的簡化招數(shù)，即半經(jīng)驗方法。這種方法在生物分子模擬領域日漸廣泛應用，我們旁邊一個課題組就是用半經(jīng)驗方法做蛋白模擬，以研究離子通道中存在的可能的化學反應(QM/MM)。流行的半經(jīng)驗主要有AM1, PM3和PM6，特別是PM6, 準確性有較大提高。這些半經(jīng)驗的算法，簡化途徑基本有三條：第一條，是只讓原子價層軌道參與分子軌道自洽計算，內(nèi)層軌道直接用一個勢函數(shù)來表示；第二條，原子價層電子往往用最小基組表示。本來在正常 的HF計算中，一個s價層電子軌道，可以選擇2個slater函數(shù)（double zeta），或者3個slater函數(shù)描述(triple zeta)，每個salter再有多達1~6個gaussian基函數(shù)擬合。但在PM6中，每個價層電子只有一個slater基函數(shù)描述，每個slater 基函數(shù)只有1~3個gaussian基函數(shù)擬合，這叫STO-3G最小基組近似。第三條近似途徑，是把用STO-3G表示的外層原子軌道凍結(jié)，即不計算軌道間的作用，沒有作用則原子軌道保持不變，相當于凍結(jié)了。這些軌道間的作用一般是通過重疊積分計算的。同一原子上的軌道間作用用單原子重疊積分，不同原子的軌道間作用叫雙原子重疊積分。忽略掉雙原子積分(Neglect of Differential Diatomic Overlap), 叫NDDO；忽略掉所有的重疊積分，叫CNDO(C - Complete Neglect DO), 部分忽略叫INDO(I - intermediate)， 通過擬合分子性質(zhì)提高準確性叫MNDO, (modified NDO); 通過擬合光譜等實驗數(shù)據(jù)改進氫鍵等分子間作用性質(zhì)叫AM1(=MNDO加1到7個Gaussian functions, 改進吸引和排斥)；如果是MNDO只加2個gaussian functions，叫PM3（但PM3同時還改進參數(shù)化過程)； PM3參數(shù)進一步對生物和過渡金屬體系優(yōu)化叫PM6。。。上述這些近似都是某種程度地減少變量，節(jié)約計算時間。如果需要提高準確性，則研究缺少 了哪些效應，然后增加一些函數(shù)（變量）來擬合完整的勢能面。一減一加，倒騰。半經(jīng)驗算法背離了“狀態(tài)越完備，結(jié)果越精確”的量子疊加計算原則，當然要付出代價，所以準確性較低，甚至對某些體系比如金屬完全無效。。。不過，因為半經(jīng)驗算法中有可調(diào)參數(shù)，可以擬合實驗數(shù)據(jù)或從頭算數(shù)據(jù)提高準確性，比如限制個鍵長，修正個鍵能啥的。 對于驗證過的體系，大多能給出比較理想的結(jié)果。 4. 什么是SCC-DFTB? SCC-DFTB做了哪些簡化？ SCC-DFTB全稱self-consistent charge density functional tight-binding method，電荷自洽的密度泛函-緊束縛方法。這個方法近幾年在德國Marcus Elstner課題組的領導下發(fā)展的很快，根本上是源于生物和材料領域?qū)τ诖笠?guī)模分子動力學研究反應，固體電子結(jié)構及其對外界擾動的響應，輸運性質(zhì)的渴求。 SCC-DFTB計算速度很快，我的經(jīng)驗是比DFT快一個數(shù)量級以上，用SCC-DFTB輕松跑 300多個原子的MD，幾個小時跑上幾個ps完全無壓力（4核openMP并行）。但同樣體系用平面波DFT,32核并行一天只能跑1個ps，而且還用了 贗勢。那么，SCC-DFTB到底是怎樣一種模型呢？ 那首先要問，到底什么是緊束縛tight-binding？這是個從固體物理中的一種模型。與固體物理中流行的與原子無關的平面波模型不同，緊束縛借鑒原子軌道組成分子軌道的思想，假定固體中的電子是束縛在原子軌道上的，這樣可以用原子軌道的線性組合表示固體中的離域的電子軌道。由于組合后的分子軌道疊加了不同原子的軌道，可以認為該軌道上的電子，可以在不同原子間跳來跳去，所以又稱hoping model。在緊束縛的思想中，原子軌道是一組近似軌道，而且不會隨軌道間作用而變化，極其類似于半經(jīng)驗方法中的軌道凍結(jié)。 DFTB對某些CHNO體系的結(jié)果還是非常好的，因為這些體系原子的軌道在成鍵作用中的確變化不大。然而，跟從頭算的半經(jīng)驗類似，凍結(jié)軌道會對某些強相關 體系(軌道作用較強)造成較大誤差，也需要校正。不過，這里并非像AM1/PM3那樣添加gaussian function來校正，而是類似于DFT，把能量對電荷密度變化進行泰勒級數(shù)展開，這樣，如果能得到準確的一階導，二階導，三階導的話，就能準確描述能量隨電荷密度變化的情況。 這里的電荷密度只考慮原子的patial charge，而不是像正常DFT那樣對空間各處電荷密度進行計算。即把能量在中性原子附近展開為原子局部電荷的密度變化Δq的函數(shù)（以中心原子為參考態(tài)）： E(q) = E(q=0) + E'(q=0)*Δq + 1/2 * E"(q=0)*(Δq)^2 + 1/6 * E'"(q=0)*(Δq)^3 + ... 展開到二級稱為SCC-DFTB2, 展開到三級稱為SCC-DFTB3. 在SCC-DFTB的實現(xiàn)中，電荷波動展開包括同一原子的多級展開和不同原子間的非對角項展開，比如二級展開： E-SCC-DFTB2 = 軌道能 + 排斥能 + 1/2*sum(Δqα*Δqβ*γαβ) 其中第二項即為雙原子(α和β)電荷波動展開到二級，求和遍及所有原子和原子對。 電荷變化Δq怎么計算呢？對價層電子波函數(shù)按TB理論做SCF自洽計算，收斂后做Mulliken分析得到原子的partial charge電荷，即為Δq。這就是SCC的含義，self-consistent charge, 即猜測凍結(jié)的原子軌道組成分子軌道的系數(shù)，得到Mulliken電荷，然后得到能量，如不收斂，則重新給定系數(shù)，計算能量，。。。直到收斂。 其中中性原子能量E對電荷波動的多階導E'(0), E"(0), E"'(0)必須預先確定。怎么確定呢？通過擬合DFT計算的勢能面獲得。這個多階導反應了原子電荷在原子間作用下波動的傾向。一階導是電負性，二階導稱化學硬度。如果擬合并不能完全重現(xiàn)DFT的勢能面，怎么辦呢？把擬合剩余的能量歸到一個排斥勢函數(shù)中，作為參數(shù)放到參數(shù) 文件中。 除了凍結(jié)原子軌道，為了加快計算速度，SCC-DFTB也采用半經(jīng)驗中那些簡化手段： 第一，價層電子的DFT-SCF計算采用最小基組近似。對于分子軌道，它還通過一個二次函數(shù)(r/r0)^2到能量項中對核外電子云的分布做一個適當?shù)氖湛s，以取得更好的結(jié)果。這里包括一個可調(diào)參數(shù)r0，決定收縮的范圍（經(jīng)驗參數(shù)）。此外，自從SCC-DFTB2以來，還存在一個gamma函數(shù)，用來系統(tǒng) 修正原子間排斥過小的問題，它的作用是抬升整個勢能面；氫鍵作用也有一個專門的修正，是對gamma函數(shù)做進一步變形和參數(shù)化得到的。在文獻中看到 SCC-DFTB3-h, h就表示氫鍵修正。如果有g就表示包括gamma函數(shù)修正。這里是增加變量以便能通過擬合提高準確性。 第二，分子軌道自洽要計算不同原子對間的原子軌道積分，但是因為原子軌道是凍結(jié)的，它們的積分可以預先計算然后保存到參數(shù)文件中。如果你想知道你的體系能 不能用SCC-DFTB，那你就需要先看看參數(shù)文件，有沒有你的體系的所有元素的兩兩參數(shù)。在標準的DFTB+網(wǎng)站，可供下載的參數(shù)文件十分有限，目前主 要包括一些CHNO等常用元素，目前是制約SCC-DFTB應用的主要瓶頸。 5. SCC-DFTB準確性怎么樣？ 首先，作為一種含展開系數(shù)的模型，其準確性必然依賴于擬合的過程，比如，擬合訓練基的選取，DFT勢能面計算的精度，等等。我使用DFTB+中的CHNO的參數(shù)，跑過幾個簡單的體系，感覺它在幾何結(jié)構，分子間作用能量和振動頻率方面十分接近DFT的計算結(jié)果，但是我沒有做過反應，相信結(jié)果會有一定誤差。因為凍結(jié)原子軌道是個很大的近似。對于強相關體系，誤差會較大。不過，可以嘗試擬合特定體系勢能面來調(diào)節(jié)參數(shù)。 最后簡單總結(jié)一下SCC-DFTB采用的近似的招數(shù)。首先，為了減少變量個數(shù)，它不讓原子軌道在成鍵作用時松弛，不計算內(nèi)層原子軌道，使用最少的基函數(shù)數(shù)目； 為了彌補這個缺陷，它增加一些變量以便擬合，其中使用了能量對電荷的多級展開，增設電子云收縮參數(shù)(r0)， H鍵調(diào)整參數(shù)(gamma function/HX參數(shù))。增加了這些參數(shù)，帶來參數(shù)擬合的問題。精度依賴于擬合過程。 SCC-DFTB，是半經(jīng)驗，還是近似，其實并不是個問題。重要的是這些簡化手段背后的思想。通過了解這些思想，有助于我們設計新的半經(jīng)驗模型。 【REF】 1. M. Elstner, The SCC-DFTB method and its application to biological systems, Theor Chem Acc (2006) 116: 316–325 2. Thomas A. Niehaus, SCC-DFTB Parametrization for Boron and Boranes, J. Chem. Theory Comput. 2012, 8, 1153−1163 [ Last edited by ChemiAndy on 2012-6-20 at 06:05 ] |
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ChemiAndy: 回帖置頂 2012-06-20 12:40:09
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寫的很好，有兩個細節(jié)值得商榷： 1）一階導是極化率——這個應該是電負性 2）第一，價層電子的DFT-SCF計算采用最小基組近似。對于分子軌道，它還通過一個二次函數(shù)(r/r0)^2到能量項中對核外電子云的分布做一個適當?shù)氖湛s， 二次函數(shù)(r/r0)^2這個應該是加到球狀對稱的原子上形成偽原子，這樣求解得到的原子軌道才符合緊束縛的要求。 |
9樓2012-06-14 16:16:29
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好貼！ 送紅花一朵！ 補充一點：關于“到底‘半經(jīng)驗’和‘近似’有什么區(qū)別”的問題 樓主用了很大篇幅論述“近似”和“半經(jīng)驗”的具體事例。前者有B-O近似、HF的平均場近似和DFT中的幾個近似。后者有NDDO、CNDO、AM1, PM3、PM6等。 我想無論“近似”還是“半經(jīng)驗”，它們都是在嚴格的形式理論演繹到一定層次的深度時，往往會遇到暫時難以解決的關鍵點，于是就求助于數(shù)學模型（包括參數(shù)化）。這就是所謂“近似”或“半經(jīng)驗”。也就是堅持運用物理模型到暫時“山窮水盡”時，不得不訴求于數(shù)學模型。換言之，物理模型需要數(shù)學模型幫忙了。 但是，無論稱為“近似”還是“半經(jīng)驗”都有一個在物理模型的哪個層次上引入數(shù)學模型的差別。越是在深層次引入，那樣的理論一定越是高明。例如AM1, PM3方法中引入的參數(shù)（如原子電離勢、電子親和能等）的層次比較淺，而DFT理論中處理交換-相關能泛函項Exc[rho]的B3LYP、B3PW91引入的層次就比較深了。所以后者要比前者高明。引入的數(shù)學模型中參數(shù)個數(shù)越少、引入層次越深的理論，其中物理模型相對于數(shù)學模型占的份量就愈重，整個理論的物理意義必然更清晰[1]。因為一旦引入數(shù)學模型之后，物理意義往往給模糊了，很難再繼續(xù)深入下去。 彭桓武先生說過理論物理的兩大特點“統(tǒng)一”和“近似”[2]。所以，樓主的問題“到底‘半經(jīng)驗’和‘近似’有什么區(qū)別”，如果進一步討論在物理模型的哪個層次上引入數(shù)學模型的理論更好，則討論或許又會別開生面。 [1] 陳敏伯，單靠實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計擬合能逼近真理嗎？——論‘憑什么相信計算’之三，化學通報, 2016, 79: 196. [2] 彭桓武，徐錫申，《理論物理基礎》，北京大學出版社，2011年，序言。 |
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10樓2012-06-14 18:12:34
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