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[求助]
Hermite矩陣的特征值計算問題
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各位高人，首先感謝幫助，由于編輯數(shù)學(xué)公式不方便，所有我截圖將我的問題放在這里，多謝指導(dǎo)！ |
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daoshuo
木蟲 (正式寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
inlaid: 金幣+3, ★★★很有幫助 2012-09-18 09:26:32
小雨萌萌: 金幣+3, 謝謝應(yīng)助~ 2012-09-19 20:12:45
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樓主,首先要知道Hermite矩陣就是實對稱矩陣的復(fù)數(shù)版本。我更愿意用:A^H=A來定義Hermite矩陣，這里A是任何一個n階的復(fù)數(shù)矩陣，H表示共軛轉(zhuǎn)置。你的這個問題有三個步驟，但是我不清楚你的意圖是什么？你的問題（2）和（3）很容易回答，但是（1）我沒有嘗試怎么計算�。∫欢ㄒ茫�1）來說明（2）和（3） 嗎？ 我首先跟你解釋一個結(jié)論：任何Hermite矩陣在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定有特征值而且特征值一定為實數(shù)。 假設(shè)A是一個Hermite矩陣，f(x)=|xI-A|表示矩陣A的特征多項式，這個多項式的根即為A的特值。由于你在復(fù)數(shù)域內(nèi)考慮問題，而代數(shù)基本定理說“復(fù)數(shù)域內(nèi)任何一個多項式均有根”（但有可能是重復(fù)的根），因此A在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有特征值。假設(shè)\lambda是A的一個特征值，X為矩陣A對應(yīng)于特征值\lambda的特征向量，即AX=\lambda X，兩端取共軛轉(zhuǎn)置有X^H A^H=\lambda^H X^H, 于是可得 X^H A=\lambda^H X^H,等式兩端右側(cè)同時乘以X推出 X^H A X=\lambda^H X^H X，注意AX=\lambda X。從而\lambda X^H X=\lambda^H X^H X，因為X^H X表示特征向量X的模長的平方，一定是一個大于零的實數(shù)，立刻得到\lambda=\lambda^H，這表明特征值\lambda一定為實數(shù)。 我的問題沒有回答完，我不要你的金幣！你先看看我的證明，如果能看懂并確認沒什么問題，我再回答你的問題（3）。 |
2樓2012-09-17 16:03:50
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非常感謝 數(shù)學(xué)高手daoshuo網(wǎng)友的回復(fù)。 由于昨晚加班所以沒能及時回復(fù)帖子。 金幣雖小，緣分乃大。感謝你的耐心證明�。�！ 我的帖子是提了3個問題，這3個問題沒有關(guān)聯(lián)。 任何Hermite矩陣的特征值都是實數(shù)。 我最關(guān)心的是任何Hermite矩陣的特征值是不是都有解析解? 也就說能夠計算出3個特征值的解析表達式。 為了驗證，我昨天簡單的學(xué)了一下符號運算軟件Maple （這個工具非常強大，強烈推薦給各位理工科的網(wǎng)友們使用） 同時，也請daoshuo高手幫我指導(dǎo)一下，看我的運算是否正確？ 下面是Maple運算結(jié)果的截圖， 從截圖可以看出，任意的一個Hermite矩陣的3個特征值不一定有解析解�。� (或者說解析解很復(fù)雜) （由于篇幅限制，我只能將部分截圖在這里給出） |
3樓2012-09-18 09:18:27
4樓2012-09-18 09:26:03
5樓2012-09-18 09:35:59
6樓2012-09-18 10:58:32
7樓2012-09-19 21:06:13
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