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renjh2011新蟲(chóng) (初入文壇)
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[求助]
關(guān)于常微分方程的一道題
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| 設(shè)函數(shù)f在0到正的無(wú)窮大的開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，不恒為零，去具有性質(zhì)f(xy)=f(x)f(y),試求此函數(shù)。 |
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xuyx_78
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
renjh2011: 金幣+1, ★★★★★最佳答案, 謝謝 2012-09-23 11:03:25
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| 先對(duì)等式兩同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)得yf'(xy)=f'(x)f(y),取x=1代入整理得f'(y)/f(y)=f'(1)/y.記a=f'(1),并兩端關(guān)于y積分得lnf(y)=alny+c,化簡(jiǎn)整理最后得f(y)=Cy^a.再由原式中取x=y=1可得f(1)=1,代入得C=1,故f(y)=y^a(其中a=f'(1)為一定值)是冪函數(shù). |
2樓2012-09-21 14:51:58
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