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renjh2011

新蟲 (初入文壇)

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蟲號: 1405485
注冊: 2011-09-17
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專業(yè): 力學中的基本問題和方法

[求助] 關(guān)于常微分方程的一道題

設(shè)函數(shù)f在0到正的無窮大的開區(qū)間上可導，不恒為零，去具有性質(zhì)f(xy)=f(x)f(y),試求此函數(shù)。

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一志愿南航 335分 | 0856 | GPA 4.07 | 有科研經(jīng)歷已經(jīng)有6人回復

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求助解一道高中數(shù)學方程題已經(jīng)有8人回復

1樓 2012-09-21 11:25:56

已閱回復此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

xuyx_78

金蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 39 (小學生)
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帖子: 176
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蟲號: 1385856
注冊: 2011-09-01
專業(yè): 計算數(shù)學與科學工程計算

【答案】應(yīng)助回帖

★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
renjh2011: 金幣+1, ★★★★★最佳答案, 謝謝 2012-09-23 11:03:25

先對等式兩同時關(guān)于x求導得yf'(xy)=f'(x)f(y),取x=1代入整理得f'(y)/f(y)=f'(1)/y.記a=f'(1),并兩端關(guān)于y積分得lnf(y)=alny+c,化簡整理最后得f(y)=Cy^a.再由原式中取x=y=1可得f(1)=1,代入得C=1,故f(y)=y^a(其中a=f'(1)為一定值)是冪函數(shù).

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2樓2012-09-21 14:51:58

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