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hnhyxhf銅蟲 (初入文壇)
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[求助]
C^1函數(shù)的極大值的原象是一個什么樣的集合？
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設(shè) $f(sx):\mathbb{R} \time S^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 是一個連續(xù)可微函數(shù)，其中，$S^1$是一個單位球面(參數(shù)球面). (1) 對固定的 $x\in S^1$, 若存在 $R_x>0$, 使得當(dāng) $r\ge R_x$ 時，$f(sx)$ 是嚴(yán)格單調(diào)遞減的; (2) $f(sx)=s^2$ 在原點附近關(guān)于 $x\in S^1$ 成立。 于是，對于固定的 $x\in S^1$ 是 $f$ 的極大值是存在的，且是一個大于零的正數(shù)，記極大值點的原象為 $m(x)$. 因此，對于每一個$x\in S^1$, 至少存在一點$m(x)$ 使得 $f(m(x)x)=max_{s\in\mathbb{R}^1}f(sx)>0$. 當(dāng)然，對于固定的 $x$, $m(x)$ 不一定是唯一的。 問題：這些極大值原象 $m(x)$ 構(gòu)成的集合\{m(x)| x\in S^1\}$ 是一個什么樣的集合？它是一個連通的集合嗎？或者說 $m(x)$ 會連續(xù)依賴 $x$ 嗎？ |
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hnhyxhf
銅蟲 (初入文壇)
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2樓2012-10-02 16:03:04
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