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求簡單微分方程的解，請大家?guī)臀铱纯础?
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求微分方程 要求解用指數(shù)函數(shù)e^x形式表示。 請大家?guī)臀铱纯础? |
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archdevil
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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要根據(jù)Q為正，為負(fù)，為0三種情況討論。 1. 如為正，則相應(yīng)齊次方程通解為c1*cos(sqrt(Q)x)+c2*sin(sqrt(Q)x)； 2. 如為負(fù)，則相應(yīng)齊次方程通解為c1*exp(-sqrt(-Q)x)+c2*exp(sqrt(-Q)x); 3. 如為0，則相應(yīng)齊次方程通解為c1*x+c2； 得到齊次方程通解后，將常數(shù)c1,c2用函數(shù)c1(x)，c2(x)代替（常數(shù)變易法），解關(guān)于c1(x)，c2(x)的方程： y1*c1'(x)+y2*c2'(x)=0, y1'*c1'(x)+y2'*c2'(x)=f(x), 這里y1, y2 分別對應(yīng)三種情況里的線性無關(guān)特解，比如在情況1時(shí)就是：y1=cos(sqrt(Q)x), y2=sin(sqrt(Q)x)。 解出c1(x)和c2(x)后帶回到相應(yīng)的通解里就得到原來問題的通解。 當(dāng)然如果f(x)比較特殊的話，比如是多項(xiàng)式、或者多項(xiàng)式和exp(mx)的乘積等情況下，還可以用待定系數(shù)法。這個(gè)方法在一般的高等數(shù)學(xué)書里都會(huì)講到，如同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)。 |
2樓2012-12-06 04:26:18
3樓2012-12-06 22:07:36
archdevil
鐵桿木蟲 (正式寫手)
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