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請(qǐng)蟲友們幫幫忙！ 問:在區(qū)間【1，＋∞】上，根號(hào)下x分之一的積分是發(fā)散的，而三次根號(hào)下x的四次方分之一的積分卻是收斂的。圖像都是無限接近x軸的，為什么結(jié)果不一樣？先謝謝啦�。�！ [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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archdevil
鐵桿木蟲 (正式寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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樓主提到的兩個(gè)積分都是廣義積分，廣義積分可理解為常義積分的極限。先把上限由無窮改為有限量a，計(jì)算在區(qū)間[1,a]上的定積分，之后再讓a趨于無窮，看是否有極限，如果有，則稱積分收斂，反之，稱積分發(fā)散。 樓主提到的第一個(gè)積分在[1,a]上積分值為lna,當(dāng)a趨于無窮時(shí)，lna也趨于無窮，故積分發(fā)散。 第二個(gè)積分在[1,a]上積分得3×（1-a^{-1/3}），當(dāng)a趨于無窮時(shí)有極限3，故積分收斂，其值為3. |
李征1113樓2012-12-27 23:32:13
2樓2012-12-27 22:47:16
4樓2012-12-27 23:46:14
archdevil
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★
李征111: 金幣+2, ★★★★★最佳答案, 非常感謝，懂啦！ 2012-12-28 08:00:55
李征111: 金幣+2, ★★★★★最佳答案, 非常感謝，懂啦！ 2012-12-28 08:00:55
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這個(gè)可以和級(jí)數(shù)類比。正項(xiàng)級(jí)數(shù)表示無窮多個(gè)正數(shù)相加，但即使是無窮多個(gè)正數(shù)相加也不一定會(huì)趨于無窮大，問題的關(guān)鍵就在于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)趨于0的速度。 比如sum{1/n}發(fā)散，但sum{1/n^2}收斂，兩者的區(qū)別在于1/n比1/n^2趨于0的速度要慢的多。 回到那兩個(gè)積分，與級(jí)數(shù)類似，被積函數(shù)就類似于一般項(xiàng)，如果被積函數(shù)趨于0的速度快，則積分收斂，反之則發(fā)散。1/x趨于0的速度顯然要比1/x^{4/3}慢得多，因此前者收斂，后者發(fā)散。 |
5樓2012-12-28 04:35:30
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