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如何用 數(shù)值解法 求 二階微分方程的本征值 已有1人參與
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如圖片中所示的二階微分方程，其中a, b 是已知參數(shù)，需要確定 本正值 E, 就是那個(gè)小寫(xiě)的 ipsilon, 就是這個(gè)微分方程有本征值，以及求這個(gè)本征解。 我只聽(tīng)說(shuō)可以用 切比雪夫多項(xiàng)式 的方法解這個(gè)微分方程，可是我沒(méi)有找到相關(guān)類(lèi)似方法的具體步湊，我只找到了這個(gè)多項(xiàng)式的具體形式，不知道這個(gè)嘗試解的收斂性是怎么操作的。 如果大家有別的 嘗試解 的方法，有參考文獻(xiàn)資料的最好了。 微分方程.jpg |
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2樓2013-04-14 22:44:05
onesupeng
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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我可以簡(jiǎn)單地說(shuō)一個(gè)思路，這個(gè)用差分法，結(jié)合matlab計(jì)算，比較容易實(shí)現(xiàn)。首先，假定x定義在[x0,x1]之間，且從方程看，可能還要求x1>x0>0。把你的方程記為：eps''=f(x) eps 假定將計(jì)算域劃分為N，在i點(diǎn)差分你的方程，大約有： eps_(i-1)-2*eps_i+eps_(i+1)=f(x_i)dx^2 eps_i -->1*eps_(i-1)-[2+f(x_i)dx^2]*eps_(i)+1*eps_(i+1)=0 當(dāng)i=1時(shí)，利用邊界條件，可以把eps_(i-1)用eps_i+eps_(i+1)表示，方程可以寫(xiě)為 -[2+f(x_i)dx^2+a]*eps_(i)+[1+b]*eps_(i+1)=0 的形式。同理可求i=N點(diǎn)的情況。 于是方程離散為： [A]*[eps]=0 其中，[A]為N*N的三對(duì)角矩陣： a1 b1 0 0 .................... b a b 0 .................... .................................... .........................b a b ............................b2 a2 于是，使用matlab求[A]的特征值。即為你需要的情況。如果說(shuō)成這樣你還不會(huì)，我可以幫你編程，但是你需要聯(lián)系你導(dǎo)師發(fā)表論文掛我為作者之一。 |
4樓2013-04-15 03:20:12
feixiaolin
榮譽(yù)版主 (文壇精英)
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【答案】應(yīng)助回帖
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signo: 金幣+50, ★★★很有幫助 2014-01-09 01:20:27
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作變量代換，令 p(x)=y'(x)/y(x) 可得解析解。 原式變?yōu)?p'(x)+p^2(x)=x^2+a/x+b/x^2+e 再取 p(x)=p1(x)+p2(x)+p3(x)+p4(x) p1(x)+p1^2(x)=a*x^2; p2(x)+p2^2(x)=a/x; p3(x)+p3^2(x)=a/x^2; p4(x)+p4^2(x)=a; 見(jiàn)附件 -------------------- 最后，{lny(x)}'=p(x) y(x)=exp{Intergrate[p(x),x]} 001.JPG 002.JPG 003.JPG 004.JPG |
16樓2014-01-06 19:25:22
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我搜了 你說(shuō)的 Numerov's method， 里面有說(shuō)解 Schrödinger Equation ，我這個(gè)方程就是從 薛定諤方程畫(huà)出來(lái)的。 http://en.wikipedia.org/wiki/Numerov%27s_method |
3樓2013-04-14 22:54:32
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（1）我的導(dǎo)師基本處于不管我的狀態(tài)，所以我想給你掛個(gè)作者問(wèn)題不大，我有70%的把握導(dǎo)師會(huì)答應(yīng)：可問(wèn)題是這個(gè)論文質(zhì)量不高，只能整個(gè)1分的，你還有興趣嗎？  （2）因?yàn)檫@是從柱坐標(biāo)薛定諤方程轉(zhuǎn)化出來(lái)的，所以所以 x 的取值范圍是0 到正無(wú)窮； （3）我也知道微分方程需要邊界條件，我的理解是：當(dāng)x趨于0時(shí)，eps 為有限值；當(dāng)x趨于正無(wú)窮，eps趨于0，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)是不是可以當(dāng)做邊界條件？ |
5樓2013-04-15 05:01:12
onesupeng
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6樓2013-04-18 03:43:01
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