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showxjn銀蟲(chóng) (初入文壇)
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[求助]
關(guān)于外測(cè)度的一個(gè)證明問(wèn)題
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這個(gè)是陶哲軒那本書(shū)上證明外測(cè)度不具有加性的一個(gè)構(gòu)造反例，有很多地方不是很明白，希望有高手能夠用樸素點(diǎn)的語(yǔ)言解釋下，特別是我圈出來(lái)的那個(gè)地方，謝謝 2013-06-06 13.14.29.jpg |
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showxjn: 金幣+5, ★★★★★最佳答案 2013-06-16 22:36:27
showxjn: 金幣+5, ★★★★★最佳答案 2013-06-16 22:36:27
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tao有本measure theory的書(shū)和實(shí)分析的書(shū)，我在后則中找到了這章，這是很后面的章節(jié)了。我講下自己的看法。 這個(gè)證明，作者構(gòu)造了一個(gè)集E，這是R中的一個(gè)集合。 如何構(gòu)造的，采用了選擇公理;為什么？選擇公理的一個(gè)版本指出：非空集合的任意笛卡爾積是非空的，我們才能定義這個(gè)集合，見(jiàn)http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%AC%E7%90%86； 因此作者事先構(gòu)造了一個(gè)積集R/Q，里面的元素就是陪集x+Q。其實(shí)每個(gè)陪集就是商空間R/Q的元素；是個(gè)等價(jià)類。 作者指出過(guò)陪集要么非交，如交則相等。這很重要 總結(jié)起來(lái)就是 作者先構(gòu)造R/Q，之后使用選擇公里在其“無(wú)窮”個(gè)元素（陪集）中構(gòu)造了集合E，它在[0，1]中，最后又構(gòu)造了一個(gè)商集，其元素是q+E，因此它非交，以此定義了集合X。所以我們可以討論外測(cè)度的加性。 矛盾的地方在于，X受控于一個(gè)上限 [-1,2]與下限[0,1]，包含下限是由于這句話“但xA屬于同一陪集”這是選擇公理的結(jié)果；這樣外測(cè)度有上界和非空下界；但是另一邊只能成立0或則無(wú)窮大，因此矛盾； 至于更深入的討論其本質(zhì)問(wèn)題，功力有限，愛(ài)莫能助 |
2樓2013-06-16 12:27:08
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