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showxjn

銀蟲 (初入文壇)

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[求助] 關(guān)于外測度的一個證明問題

這個是陶哲軒那本書上證明外測度不具有加性的一個構(gòu)造反例，有很多地方不是很明白，希望有高手能夠用樸素點的語言解釋下，特別是我圈出來的那個地方，謝謝

2013-06-06 13.14.29.jpg

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1樓 2013-06-06 13:22:47

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nagami

木蟲 (正式寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
showxjn: 金幣+5, ★★★★★最佳答案 2013-06-16 22:36:27

tao有本measure theory的書和實分析的書，我在后則中找到了這章，這是很后面的章節(jié)了。我講下自己的看法。
這個證明，作者構(gòu)造了一個集E，這是R中的一個集合。
如何構(gòu)造的，采用了選擇公理;為什么？選擇公理的一個版本指出：非空集合的任意笛卡爾積是非空的，我們才能定義這個集合，見http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%93%87%E5%85%AC%E7%90%86；
因此作者事先構(gòu)造了一個積集R/Q，里面的元素就是陪集x+Q。其實每個陪集就是商空間R/Q的元素；是個等價類。
作者指出過陪集要么非交，如交則相等。這很重要
總結(jié)起來就是
作者先構(gòu)造R/Q，之后使用選擇公里在其“無窮”個元素（陪集）中構(gòu)造了集合E，它在[0，1]中，最后又構(gòu)造了一個商集，其元素是q+E，因此它非交，以此定義了集合X。所以我們可以討論外測度的加性。
矛盾的地方在于，X受控于一個上限 [-1,2]與下限[0,1]，包含下限是由于這句話“但xA屬于同一陪集”這是選擇公理的結(jié)果；這樣外測度有上界和非空下界；但是另一邊只能成立0或則無窮大，因此矛盾；
至于更深入的討論其本質(zhì)問題，功力有限，愛莫能助

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回復(fù)此樓

女靠衣裝；男靠金裝

2樓2013-06-16 12:27:08

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