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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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心語10086

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[交流] 實(shí)變函數(shù)里的一道計(jì)算題已有5人參與

一道實(shí)變函數(shù)的問題，運(yùn)用控制收斂定理計(jì)算一道題，會(huì)者請(qǐng)展示詳細(xì)過程
（刪了）

[ Last edited by 心語10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]

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1樓 2013-06-08 12:23:47

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首先，取 $d=\frac{1}{n^\alpha}$ ，將原表達(dá)式寫成
$\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2$
對(duì)于I2我們有
$I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n^{1/2-2/\alpha}}$
所以只要 $\alpha > 4$ ，比如 $\alpha = 5$ ，就有 $I_2 -> 0$ 。剩下 $I_1 -> 0$ 也是顯然的，因?yàn)?nbsp; $d=\frac{1}{n^\alpha} -> 0$ ，而被積函數(shù)有限。

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3樓2013-06-08 13:39:54

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10樓: Originally posted by 心語10086 at 2013-06-13 12:39:48
可以寫一下嗎？用您這里所說的第一種方法，放大法。謝謝您！...

看圖片吧, 其實(shí)第二種方法更簡(jiǎn)單, 甚至是初等到極點(diǎn).

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12樓2013-06-13 12:43:14

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很簡(jiǎn)單, 至少有兩種辦法可以找到控制函數(shù), 一個(gè)辦法是利用Young不等式將分子放大, 這個(gè)有一定的技巧性, 另一個(gè)辦法則比較直接, 甚至可以說比較笨的辦法, 就是固定x, 對(duì)被積函數(shù)求關(guān)于n的最大值, 將n視為連續(xù)變量就變成了求導(dǎo)數(shù)的臨界點(diǎn), 學(xué)過一元微積分的都會(huì).

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8樓2013-06-13 05:52:04

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3樓: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，將原表達(dá)式寫成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
對(duì)于I2我們有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

你這個(gè)證明有兩個(gè)地方值得商榷:

1, ${I_1 \to 0}$ 并不明顯, 因?yàn)楹瘮?shù)如果僅僅是有限而不是有界的話, 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于0時(shí), 積分不一定趨于零. "有限"和"有界"是完全不同的兩個(gè)概念, 后者強(qiáng)于前者. 實(shí)際上, 此題中的函數(shù)恰恰不是有界的, 當(dāng) ${x=\frac{1}{n} \in [0,1]}$ 時(shí), 被積函數(shù) ${\dfrac{ n^{\frac{3}{2}} x }{ 1+n^2x^2} \cos(nx) = \dfrac{ \sqrt{n} }{2} \cos 1 \to +\infty \quad (n \to +\infty)}$ , 這是關(guān)鍵所在.

2, 在 ${I_2}$ 的估計(jì)式中, 最后分母中的 ${n}$ 的冪次是不是計(jì)算有誤? 似乎應(yīng)該是 ${\frac{1}{2}-2\alpha}$ , 而不是 ${\frac{1}{2}-\frac{2}{\alpha}}$ , 如此一來, 為了保證 ${I_2 \to 0}$ , 就必須取 ${\alpha < \frac{1}{4}}$ . 但這樣就導(dǎo)致 ${x=\frac{1}{n} }$ 落入前面的小區(qū)間中, 于是在第一問題中只是假設(shè)性的問題現(xiàn)在成了真正的問題了.

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9樓2013-06-13 06:32:06

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12樓: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看圖片吧, 其實(shí)第二種方法更簡(jiǎn)單, 甚至是初等到極點(diǎn).

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...

一點(diǎn)評(píng)注, 我個(gè)人感覺第一個(gè)方法技巧性太強(qiáng)了, 你幾乎很難從解答中看到我是怎么想的. 其實(shí), 我最開始想到的是拿 ${2ab \leq a^2 + b^2 }$ 這樣最基本的Cauchy不等式來放縮, 但未能湊效, 原因就是分子分母中n和x的冪次的配合不一樣, 于是想到了通過Young不等式來調(diào)整, 這下成功了. 但是注意到方法二中的控制函數(shù)可以說是最佳的, 所以我又進(jìn)一步想如何在方法一中也能湊出最佳的控制函數(shù)來, 當(dāng)然, 這對(duì)于解這道題本身來說完全沒必要, 甚至可以說是純屬多余, 但我相信方法一應(yīng)該也能做到, 換句話說, 我想把方法一推到極致, 通過觀察系數(shù), 想到了Young不等式的加強(qiáng)版, 通過調(diào)整一個(gè)常數(shù) ${\varepsilon}$ 達(dá)到了目的, 這下果然一步到位了. 你可以試一下取 ${\varepsilon=1}$ 時(shí)候的推導(dǎo), 這個(gè)已經(jīng)夠用了, 而且不像現(xiàn)在改進(jìn)之后的方法顯得那么的artificial.

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13樓2013-06-13 13:02:52

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12樓: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看圖片吧, 其實(shí)第二種方法更簡(jiǎn)單, 甚至是初等到極點(diǎn).

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...

謝謝你指出錯(cuò)誤，你真是做了不少工作啊。真心佩服！

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15樓2013-06-14 06:49:34

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15樓: Originally posted by pippi6 at 2013-06-14 06:49:34
謝謝你指出錯(cuò)誤，你真是做了不少工作啊。真心佩服！...

不敢當(dāng)! 指出他人的錯(cuò)誤是要冒風(fēng)險(xiǎn)的, 如果對(duì)方小肚雞腸, 會(huì)招致記恨甚至明面上的攻擊, 我也是有顧慮的. 但這是討論學(xué)術(shù)問題不涉及其它, 如果發(fā)現(xiàn)了問題不指出來而導(dǎo)致更多的人被誤導(dǎo), 自己的學(xué)術(shù)良心又過不去. 思慮再三, 還是斗膽指出來了. 你開闊的心胸和豁達(dá)的態(tài)度值得欣賞!

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16樓2013-06-14 11:11:33

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筆誤？好像應(yīng)該是 n-> infinity

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2樓2013-06-08 13:21:33

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用控制收斂定理，要找控制函數(shù)哦，你的控制函數(shù)是什么呢？

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4樓2013-06-09 23:10:00

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4樓: Originally posted by 心語10086 at 2013-06-09 23:10:00
用控制收斂定理，要找控制函數(shù)哦，你的控制函數(shù)是什么呢？...

不懂什么是控制函數(shù)

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5樓2013-06-10 03:20:58

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這么難啊

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6樓2013-06-10 18:18:06

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5樓: Originally posted by pippi6 at 2013-06-10 03:20:58
不懂什么是控制函數(shù)...

還是謝謝您！

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7樓2013-06-12 21:57:31

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8樓: Originally posted by weft at 2013-06-13 05:52:04
很簡(jiǎn)單, 至少有兩種辦法可以找到控制函數(shù), 一個(gè)辦法是利用Young不等式將分子放大, 這個(gè)有一定的技巧性, 另一個(gè)辦法則比較直接, 甚至可以說比較笨的辦法, 就是固定x, 對(duì)被積函數(shù)求關(guān)于n的最大值, 將n視為連續(xù)變量就變 ...

可以寫一下嗎？用您這里所說的第一種方法，放大法。謝謝您！

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10樓2013-06-13 12:39:48

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