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443708933木蟲 (著名寫手)
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[求助]
作用量原理的兩個(gè)問題
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費(fèi)曼寫的作用量個(gè)路徑積分里的兩個(gè)小問題。第一個(gè)問題，我直接從拉格朗日方程入手，對(duì)最小L積分，然后取x=xa，但是想想，既然xa可以，xb不就也可以。所以想法不對(duì)，提示說從2-6出發(fā)。第二個(gè)問題的提示沒看懂是什么意思，懇請(qǐng)理解的同學(xué)指點(diǎn)。 |
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walk1997
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2樓2013-06-15 18:43:53
【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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華麗的飄過: 金幣+8, 3q 2013-06-23 01:49:23
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華麗的飄過: 金幣+8, 3q 2013-06-23 01:49:23
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記號(hào)看不懂，建議樓主下次把記號(hào)說明附帶上去。為此特地去下了本費(fèi)曼的書，幸好樓主給出書名。不過是中文的，Y的，中文版公式2-13還打印錯(cuò)的，頓時(shí)蛋碎一地。 我是這么推到的。同時(shí)還有些問題。 首先幾個(gè)概念，（樓主應(yīng)該把這幾個(gè)概念打出來的，不然看不懂啊） (1)x(t)滿足x(ta)=xa;x(tb)=xb; (2)作用量S(t,x,x')，Scl是x滿足Lagrange方程對(duì)應(yīng)的S值，此時(shí)S(ta,tb,xa,xb)=L(ta,tb,xa,xb,t)在ta到tb上的積分； 第一問：（2-11）從右到左推到 注意到S(ta,tb,xa,xb)和S(t,x,x')的關(guān)系，x是體分布的，xa是端點(diǎn)分布。detla(x)【代表x的變分】和d(xa)【代表x的微分】是從屬關(guān)系，因此依據(jù)提示利用（2-6）S的一階變分式。 以xa為變量為例：S(ta,tb,xa,xb)應(yīng)應(yīng)該包含（2-6）的2項(xiàng)，第一項(xiàng)是關(guān)于d(xa)的線性項(xiàng)，系數(shù)就是我們要求的；第一項(xiàng)是關(guān)于detla(x)的線性積分式，次項(xiàng)是d(xa)的“高階無窮小”，注意到x滿足Lagrange方程，x的微小擾動(dòng)對(duì)于方程也是微小的。因此求偏微分就是所求的結(jié)果。 第二問：（2-13）從右到左推到，關(guān)鍵在第二部分，使用帶變量的積分式的求導(dǎo)公式。 注意到S(ta,tb,xa,xb)和L(ta,tb,xa,xb,t)（注意含有時(shí)間t）的關(guān)系，對(duì)S(ta,tb,xa,xb)關(guān)于tb求導(dǎo)分為兩部分； 第一部分，關(guān)于積分域求導(dǎo)，即L(ta,tb,xa,xb,t),當(dāng)t=tb的值。應(yīng)該就是L(xb)； 第二部分，注意到tb與x（t）中的t的地位恒同。為什么？求極值曲線時(shí)，我們其實(shí)再求解兩點(diǎn)邊值問題，然后你懂的。因此第二部分又包含兩部分， integral {（DL/Dx）* detla(x‘) + （DL/Dx’）*detla(x‘‘)},分部積分，就得到所要的結(jié)果。得注意下xb的導(dǎo)數(shù)其實(shí)就是d/dx {detla(x)} 在tb處的取值。 推到的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)個(gè)問題，（朗道說過“物理中所謂的數(shù)學(xué)都是自欺欺人的”這句話嗎？？  ）經(jīng)典Newton方程求解的是初值問題，給出坐標(biāo)及速度，解的唯一性一般是抗抗的； 最小作用原理，給出兩點(diǎn)邊值問題，給出2個(gè)坐標(biāo)；Y的，對(duì)于后則在數(shù)學(xué)上解可能不唯一，可能無解，可能有無窮個(gè)解。因此對(duì)應(yīng)的Scl是不是不唯一了。 |
3樓2013-06-15 22:22:53
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打了個(gè)電話，沒注意審查，錯(cuò)誤的記號(hào)一大堆 detla(x)=delta(x)，d(xa)=【delta(x)|t=ta】； 【第一項(xiàng)是關(guān)于detla(x)的線性積分式，次項(xiàng)是d(xa)的“高階無窮小”】應(yīng)該是 【第二項(xiàng)是關(guān)于delta(x)的線性積分式，因?yàn)榘琇agrange方程，所以是delta(x)的“高階無窮小”，因而對(duì)于d(xa)也是小的】 d/dx {detla(x)}應(yīng)該改為d/dt {delta(x)} integral 是ta到tb的定積分，DL/Dx是偏導(dǎo)數(shù)， 分布積分是關(guān)于delta(x‘‘)做的，delta(x‘)不動(dòng)它，這樣能再次得到Lagrange方程，然后再消去 最后，兩點(diǎn)邊值問題是對(duì)于x(ta)=xa;x(tb)=xb的Lagrange方程而言 |
4樓2013-06-15 23:18:25
443708933
木蟲 (著名寫手)
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5樓2013-06-17 10:56:54
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