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求教詹興致《矩陣論》上的一題
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詹興致《矩陣論》p12 第7題 QQ截圖20130809082534.png |
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2樓2013-08-09 22:07:50
yangrui123
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yangrui123
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6樓2013-08-10 12:46:18
7樓2013-08-10 13:09:50
hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★
sibigu: 金幣+5 2013-08-29 12:36:40
sibigu: 金幣+5 2013-08-29 12:36:40
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這題敘述的如此簡(jiǎn)潔, 我卻只能給出個(gè)很別扭的不完全的證明, 希望詹興致老師不要生氣. 我只能證明m=N+1的情況. 考慮帶參數(shù)的矩陣x1*A1+x2*A2+...+x(N+1)*A(N+1)的行列式. 這是一個(gè)(N+1)元多項(xiàng)式f, 并且每一項(xiàng)次數(shù)都是N, 這可以從行列式的置換群展開式Sum_{Sigma} (-1)^{Sigma} A{1,Sigma(1)}*..*A{n, Sigma(n)} 直接看出. 該次數(shù)N就是最最關(guān)鍵的部分. 我們限制x1,...,x(N+1)取值要么是0, 要么是1. 現(xiàn)在假設(shè)命題不成立, 也就是說, 該多元齊次多項(xiàng)式值不等于零當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=...=x(N+1)=1. 對(duì)x1展開, f=x1*(g1) +h1(x2,x3,...,x(N+1)). 那么, 函數(shù)h1(x2,x3,...,x(N+1))無論X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒為零,因?yàn)檫@是f中x1=0的結(jié)果. 在g1函數(shù)中, 固定x1=1, 得到新的g1, 只依賴于x2, .., x(N+1)的. g1滿足要求: g1 不為零當(dāng)且僅當(dāng)x2=...=x(N+1)=1. g1 (新)= x2*(g2) + h2(x3, ..., x(N+1)). 同理, 函數(shù)h2(x3,...,x(N+1))無論X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒為零. 這時(shí)固定x2=1, 得到新的g2=g2(x3,...,x(N+1)). g2 不為零當(dāng)且僅當(dāng)x3=...=x(N+1)=1. 現(xiàn)在可以考慮gN, 它由g(N-1)= xN*g(N) +hN (x(N+1)) 得到. 明顯地, x(N+1) * (x(N+1) -1) 整除多項(xiàng)式hN. 但我們關(guān)心的是 g(N)在xN=1時(shí)的性質(zhì). 這時(shí)候,如果x(N+1)=0, g(N) 值等于零; 如果x(N+1)=1, g(N) 值不等于零. 這說明, 多項(xiàng)式g(N)的次數(shù)最少是1. (不是常數(shù)函數(shù)) 這是不可能的, 因?yàn)閺膄到g(N), 中間我們乘了因子x1, x2,..., xN, 它們已經(jīng)用了N次, 而f總共次數(shù)才N次, 所以 g(N)次數(shù)必須是零, 即常數(shù). |
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sibigu8樓2013-08-23 05:32:27
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幾天沒上沒看見，解答的很好！想必詹老師一定喜歡你這樣自己想出來的辦法  http://www.jstor.org/discover/10.2307/3072441?uid=3737800&uid=2129&uid=2134&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21102593045857 www.rscosan.com/documents/RCTM08_rcostas.pdf 這是我網(wǎng)上搜到的答案，頭一個(gè)是原始解答，算是比較自然吧，有理可循（只是我沒想去從行列式入手  我從向量線性無關(guān)、矩陣的維數(shù)想去用數(shù)學(xué)歸納法做 ），同你異曲同工，我猜你的方法進(jìn)一步，也能完整的做出，后面的那個(gè)是推廣，老實(shí)說就我看懂的部分，那個(gè)A不等于0的情形同樣能用原來解答的辦法做。 |
9樓2013-08-29 12:51:27
10樓2013-08-29 13:17:45
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