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（技術(shù)貼）散射理論介紹 已有23人參與
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為了活躍論壇氣氛，打造小木蟲特別是高分子版的高端作品，同時(shí)也希望借此督促自己學(xué)習(xí)，偶決定在業(yè)余時(shí)間寫一系列的技術(shù)貼，希望能夠覆蓋高分子物理常見的應(yīng)用領(lǐng)域，為徘徊在理論大門門口或者止步不前的童鞋提供一些有益的思想與工具。 本系列的作品與之前偶的文章十分不同，如果對(duì)偶之前行文風(fēng)格不太了解的童鞋，可以看看下面兩個(gè)帖子 http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=4067788&fpage=1 http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=6159817&fpage=1 這未來這套系列文章中（包括本文），偶決定不再采用閑聊的方式，而是采用嚴(yán)格的物理思考+數(shù)學(xué)論證的方式，希望能夠給大家提供掌握這一領(lǐng)域入門的所有知識(shí)，但語言依舊會(huì)保持輕松愉快，避免給大家造成太大的心理壓力，  大家很快會(huì)在后續(xù)的閱讀中發(fā)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變的端倪。在閱讀過程中，偶強(qiáng)烈建議大家手邊放著紙和筆，時(shí)不時(shí)的演算一下，否則你真的很難從中學(xué)到什么東西。偶希望這個(gè)帖子不會(huì)流入泛泛，而是能夠?qū)δ阒R(shí)完備起到一定的幫助作用。偶會(huì)用最通俗的語言來講解所有的知識(shí)，希望對(duì)這一領(lǐng)域完全陌生的童鞋，在看完偶的文章之后，也會(huì)對(duì)這一領(lǐng)域有一個(gè)清晰的理解（至少在概念層次上，如果數(shù)學(xué)上的技術(shù)對(duì)你來說很困難的話。但通常說來，偶只假定你有了微積分，線性代數(shù)和熱力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)）。我不認(rèn)為一個(gè)智力正常的人會(huì)有某些東西拼命學(xué)也學(xué)不會(huì)，不會(huì)的原因只有兩種，對(duì)方教的不好，或者自己沒有認(rèn)真學(xué)。我希望這種嘗試能取得成功，至少是前一個(gè)因素。在偶的文章中，你可能會(huì)看到一種完全不同的理解方式，也許，不同的視角對(duì)自身的學(xué)習(xí)是大有裨益的。 這項(xiàng)工作是一門長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)，考慮到完備性，我會(huì)把一個(gè)主題打散成好幾個(gè)子題目來寫，可能中途會(huì)更新的比較慢，因?yàn)榕枷Ｍ械娜硕寄芨纳蟻�，所以我�?huì)不厭其煩的用最明白的語言來描述，同時(shí)也會(huì)考慮到新手在自學(xué)中會(huì)遇到的種種困難，都會(huì)在文中一一羅列。排版是一項(xiàng)艱巨的挑戰(zhàn)，因?yàn)檎搲瘺]有公式編輯的功能，偶可能不得不采用其他的辦法來完成。 開場(chǎng)白先寫到這里吧，以后想起什么再來補(bǔ)充，第一個(gè)主題之所以選擇這個(gè)題目，是因?yàn)槔斫馍⑸涞母拍顚?duì)于掌握其他的技巧非常重要，同時(shí)，散射技術(shù)也是了解物質(zhì)結(jié)構(gòu)的基本手段之一，不管因?yàn)槟囊稽c(diǎn)，從這個(gè)角度切入，我想是非常合適的。 |
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數(shù)學(xué)準(zhǔn)備 傅里葉變換(Fourier Transform) 要說到傅里葉變換(簡(jiǎn)稱F.T.),那么首先要從傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series,簡(jiǎn)稱F.S.)談起。F.S.的來源，從概念上來講非常的簡(jiǎn)單，它的基本想法是這樣的：假設(shè)我現(xiàn)在手頭上有一個(gè)周期函數(shù)f（x），比如說周期為2π，現(xiàn)在我想把它做展開（例如展開成一些我們比較熟悉的函數(shù)形式以便處理），該怎么做呢？一個(gè)自然的想法是，如果我找到了所有周期為2π的函數(shù)，把他們做線性疊加，也許就可以表示f（x）了。而在常見函數(shù)中，sin（nx）和cos（nx）{其中n=0,1,2,3…}都是周期為2π的函數(shù)，是我們很熟悉的，而且非常易于操作（例如進(jìn)行微分積分等運(yùn)算）。于是，一個(gè)周期為2π的函數(shù)，在形式上便可以寫成如下的模式： 其中等號(hào)右邊的打頭項(xiàng)之所以除以2，純粹是為了后面推導(dǎo)出的公式好看而已，當(dāng)然你也可以完全不這樣做，代價(jià)是在后面的公式中都會(huì)出現(xiàn)2這個(gè)因子。要注意的是，這個(gè)表達(dá)式只是在形式上給出了一個(gè)關(guān)于f（x）的表示，至于右邊的級(jí)數(shù)展開究竟能不能收斂到f（x），這在目前還是不知道的，我們會(huì)在下文中予以討論。 在這里需要介紹幾個(gè)重要的三角函數(shù)關(guān)系式 這幾個(gè)公式都是很容易驗(yàn)證的，用高中數(shù)學(xué)中的積化和差公式就可以得到。并且借助這幾個(gè)三角函數(shù)表達(dá)式，我們可以很容易求出F.S.中的系數(shù)。 但問題是這些關(guān)系式背后的內(nèi)涵是什么？事實(shí)上，這些積分的關(guān)系式可以被看成是內(nèi)積的定義��！ 為什么這么說呢？好吧，讓我們先看一下什么叫做函數(shù)~~ 以1D為例,函數(shù)其實(shí)是可以看成一系列點(diǎn)的集合,而每一個(gè)點(diǎn),都可以用一個(gè)number來刻畫。例如對(duì)于函數(shù)f（x），如果我們給了一個(gè)自變量x1,那么對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f1,如果再給一個(gè)自變量x2,那么函數(shù)值為f2,如此等等�，F(xiàn)在我們把所有的函數(shù)值都收集起來，但是用一個(gè)特別的記號(hào)（f1，f2，f3，…）來標(biāo)記，從中看到，只要遍歷了所有的點(diǎn)（當(dāng)然點(diǎn)有無窮多），這就我們的函數(shù)f（x），也就是說，函數(shù)可以用無窮多個(gè)有序的數(shù)來表示（所謂有序，是指有一定的次序，即任意兩個(gè)數(shù)的位置不能交換，否則就不是原來的函數(shù)了）。再回想一下向量的定義，aha~~，n維向量不也是用n個(gè)有序的數(shù)來表示的嗎？比如一個(gè)3D向量（x，y，z），不就是用x,y,z三個(gè)有序的數(shù)來表示的嗎？ 于是我們馬上意識(shí)到，對(duì)函數(shù)可以有一個(gè)全新的看法，函數(shù)是一個(gè)無窮維的向量！ 于是這樣一來，事實(shí)便明朗起來，例如我們考察f（x）g（x）的積分，這個(gè)積分按照積分的定義可以被寫成如下的形式： 注意到[…]中的…，恰好是向量?jī)?nèi)積的定義，之所以要在最后乘上一個(gè)無限小Δx，純粹是因?yàn)槿绻?dāng)取得函數(shù)點(diǎn)足夠多時(shí)，…一定會(huì)是無窮大（發(fā)散），這時(shí)候乘上一個(gè)無限小，才能保證積分收斂。因此，兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，可以看成線性代數(shù)中的內(nèi)積，而每一個(gè)函數(shù)，都可以被看成是一個(gè)向量！ 至此，我們可以說，從上述三角函數(shù)關(guān)系式中，我們可以得出這樣的結(jié)論，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…都可以被看成向量，而由{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}所構(gòu)成的集合，可以看成是線性空間中的一組基底（basis），而這組基底本身是正交的！ 再比對(duì)F.S.的表達(dá)式，于是乎，f（x）可以被看成是對(duì)正交基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}的線性展開，而F.S.的系數(shù)就是在那個(gè)基上的投影。 到這里，F(xiàn).S.已經(jīng)被解釋清楚了：僅僅是選擇合適的正交基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}，之后對(duì)其做展開，展開的系數(shù)可以看成是在該基向量方向上的投影。{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}可以被看成是函數(shù)空間中的笛卡爾直角坐標(biāo)系。 但情況到這里并沒有結(jié)束，一個(gè)非常嚴(yán)重的問題是，基底是否是完備的。這個(gè)問題很重要，例如對(duì)于一個(gè)三維的向量，如果不小心取了一個(gè)二維的基底，當(dāng)然也可以展開，但是展開后的結(jié)果不會(huì)再和原來的結(jié)果相等（用級(jí)數(shù)的語言便是所謂的不收斂）。這也是狹義相對(duì)論晚于牛頓幾百年之后才發(fā)現(xiàn)的原因，因?yàn)槿藗儼盐锢砹靠偸侨S空間中展開，事實(shí)上物理量是四維的，即（x，y，z，ict），所以選擇正確的基底非常重要，于是很有必要考察一下我們選擇的基底{1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…}究竟是不是完備的。 到這里有必要跟大家梳理一下思路：我們之前是對(duì)函數(shù)f（x）做展開，但是展開的系數(shù)事實(shí)上又可以用f（x）表示出來，那么我們的問題是，一旦把系數(shù)的表達(dá)式重新帶回到f（x）的表達(dá)式中，會(huì)不會(huì)得到f（x）自己呢？ 這種邏輯聽起來有點(diǎn)怪異，好像是忙活了一圈之后又回到了起點(diǎn)，憑直覺這種代換總會(huì)回到自身，其實(shí)不然。這是一個(gè)非常關(guān)鍵的想法，因?yàn)檫@是檢驗(yàn)基底完備性的一種手段。即如果基底是完備的，經(jīng)過這樣一個(gè)操作以后，函數(shù)會(huì)再次回到自己（因?yàn)橥陚涞幕滓馕吨谡归_中沒有漏掉任何信息，當(dāng)重組之后得到的便是自己本身）。這在數(shù)學(xué)上其實(shí)是要求代入系數(shù)表達(dá)式后，所得到的的Kernel function是Dirac-delta function。至于什么是Kernel函數(shù)會(huì)在證明中提及。完備性證明如下：（這下面的圖片有點(diǎn)不清楚，我把原版的作為附件上傳了，下載以后可以放大，看到更清晰的圖） 完備性證明的最后一個(gè)等式，也可以看成是一個(gè)向量?jī)?nèi)積的定義。從這個(gè)角度上來看，Dirac-delta function可以被“不太嚴(yán)格”的看成是一個(gè)無窮維的單位矩陣（identity），所謂不太嚴(yán)格，是指其對(duì)角線上的元素并非1，而是無限大，但非對(duì)角線上的元素依舊都是0。之所以對(duì)角線上的元素是無窮大，因?yàn)镈irac-delta function總是與積分相伴隨出現(xiàn)（否則結(jié)果就會(huì)發(fā)散），而積分會(huì)乘上一個(gè)無限小，正好和Dirac-delta函數(shù)中的無限大消掉以保證最后積分是收斂的。 以上推導(dǎo)僅僅是以周期為2π為例進(jìn)行說明的，當(dāng)然可以很容易推廣成周期為2L的情況，請(qǐng)大家自行完成~~ 但從應(yīng)用角度來講，從中導(dǎo)出的結(jié)果卻并不見得好用，人們更常用的是complex form，下面就把sin和cos的展開式改寫成復(fù)數(shù)展開的形式。所有的技巧非常簡(jiǎn)單，僅僅是歐拉公式。 從結(jié)果中我們可以看到，一個(gè)函數(shù)f（x）可以用兩種不同的方式展開，即exp（inx）或者exp（-inx），這是很顯然的，因?yàn)閑xp（inx）或者exp（-inx）可以被看成兩組展開的基底，他們都是正交完備的，只是展開的系數(shù)（投影）不同而已。注意到最后的表達(dá)式其實(shí)是非常的對(duì)稱，f（x）和Cn差別僅僅出現(xiàn)在指數(shù)上面的正負(fù)號(hào)。以后我們會(huì)通過簡(jiǎn)單的argument將這種討論推廣成為F.T.。此時(shí)Cn通常用另外的記號(hào)F（w）來表示，代表一個(gè)函數(shù)做了傅里葉變換后的結(jié)果。 ][ Last edited by touchhappy on 2013-8-24 at 16:29 ] |
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