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xc79522

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[求助] (階乘)數(shù)列求和

翻看了一下壇子里的相關(guān)內(nèi)容，覺得應(yīng)該是發(fā)在這里最合適了。要是這里不合適，請大家告知我一下。

我在對一化學(xué)過程數(shù)學(xué)建模時，得到一數(shù)學(xué)關(guān)系，是一數(shù)列，其中各項表達(dá)如下：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}}$

其中：

i = 自然數(shù)，即1, 2, 3, ... 正無窮
a, b = 均為不同的、大于0的正整數(shù)
${x_0}$ = 大于0的正整數(shù)

求：在i趨于無窮大時，此數(shù)列的和，即： $\sum\limits_{i = 1}^\infty{{x_i}}$

-----------------------------------分割線-----------------------------------

目前，我自己做了下面的嘗試，把此數(shù)列中各項都用 ${x_0}$ 來表達(dá)，即：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 2}}{{i - 1}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {{\left( {i - 1} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 3}}{{i - 2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {{\left( {i - 2} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot\cdots\cdot \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0} = \frac{{\left[ {{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]!}}{{\left( {1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}} \right)!}} \cdot {x_0}$
如果這樣沒錯的話，則得到 ${x_i}$ 的通項公式為一階乘表達(dá)式（我不確定，這個用階乘表達(dá)的通項公式我是否寫的數(shù)學(xué)上正確）。但到了這步后，我就進(jìn)行不下去了，不知該怎樣求此數(shù)列的和。google了一下，似乎有提到Stirling's approximation，不知對口不對口。

懇請大家的幫助！非常感謝先！

[ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ]

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1樓 2013-08-30 18:06:17

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yunmeng57

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本帖內(nèi)容被屏蔽

2樓2013-08-30 21:29:22

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xc79522

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引用回帖:

2樓: Originally posted by yunmeng57 at 2013-08-30 14:29:22
分母不對，分母不是階乘，是連乘！

謝謝回復(fù)！

你是指分母用階乘表達(dá)不對，是么？

但分母和分子中都只是 i 逐一遞增。

若分母不是階乘，那分子也應(yīng)該不是階乘吧。

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3樓2013-08-30 21:50:05

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daxiaobing

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

分子分母都不是階乘！

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4樓2013-08-31 00:13:49

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【答案】應(yīng)助回帖

都是連乘，其中分子可以化簡合并一下

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5樓2013-08-31 00:19:08

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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
xc79522: 金幣+5, ★★★很有幫助, 非常感謝！ 2013-09-24 14:10:10

讓c=a/b, 簡化一點點. 先看分母上的連乘積. Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) )的收斂性.
正項連乘級數(shù)的收斂性等價于相應(yīng)的對數(shù)連和級數(shù)收斂性.
Log ( Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) ) ) = Sum_{k=1}^Infty Log(( 1+c*k^(-7/6) ) ) )
由于 Log(1+x) ~ x 當(dāng)x在零點附近, 所以求和級數(shù)大致為  c* Sum_{k=1}^Infty  k^(-7/6) . 這是一個標(biāo)準(zhǔn)的收斂級數(shù), 且級數(shù)和不為零. 因此Prod_{k=1}^ infty  ( 1+c*k^(-7/6) )=d >0.  某個正數(shù)d.
再看樓主推導(dǎo)出的通項公式, 分子上的連乘是可以互相抵消的, 只剩下 (1/k)^{2/3}.
也就是說, 大體上 x_k ~ k^{-2/3} * d * x_0. 這個級數(shù)是個標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)散級數(shù). 樓主還是專心找部分求和 (有意義的截段)數(shù)值解吧.
附錄: 級數(shù) Sum_{n=1}^{infty}  1/ n^a  收斂, 當(dāng) a>1.    發(fā)散, 當(dāng) 0<a<=1.

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6樓2013-08-31 00:48:34

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引用回帖:

6樓: Originally posted by hank612 at 2013-08-31 00:48:34
讓c=a/b, 簡化一點點. 先看分母上的連乘積. Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) )的收斂性.
正項連乘級數(shù)的收斂性等價于相應(yīng)的對數(shù)連和級數(shù)收斂性.
Log ( Prod_{k=1}^ infty ( 1+c*k^(-7/6) ) ) = Sum_{k=1}^In ...

摟主, 我用Matlab作了一下圖, 發(fā)現(xiàn)序列和很有規(guī)律. 你用Log 或者 x^k (k<1) 試試擬合吧.
附源程序. 參數(shù)可以調(diào)整. X(k)是趨于零的,我沒畫. Y(K)是分母部分, 可以看出是收斂的.

clear all
N=1000;
X=zeros(1,N); S=zeros(1,N); Y=zeros(1,N);
X(1)=5; S(1)=X(1); Y(1)=X(1); c=2/3;
for k=2:N
   X(k)=((k-1)/k)^(2/3)*X(k-1)/(1+c*k^(-7/6));
   S(k)= S(k-1)+X(k);
   Y(k)=k^(2/3)*X(k);
end
plot ( 1:N, Y(1:N), 'r', 1:N, S(1:N),'b*')

series.jpg

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7樓2013-08-31 04:07:34

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引用回帖:

7樓: Originally posted by hank612 at 2013-08-30 21:07:34
摟主, 我用Matlab作了一下圖, 發(fā)現(xiàn)序列和很有規(guī)律. 你用Log 或者 x^k (k<1) 試試擬合吧.
附源程序. 參數(shù)可以調(diào)整. X(k)是趨于零的,我沒畫. Y(K)是分母部分, 可以看出是收斂的.

clear all
N=1000;
X=zer ...

謝謝大家的回復(fù)，特別感謝hank612的解答，我已按你所說，做了擬合。實在抱歉，前一段出差，沒來得及及時回復(fù)。祝好！

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8樓2013-09-24 14:10:45

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