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xc79522

銅蟲 (初入文壇)

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[求助] (階乘)數(shù)列求和

翻看了一下壇子里的相關(guān)內(nèi)容，覺得應(yīng)該是發(fā)在這里最合適了。要是這里不合適，請大家告知我一下。

我在對一化學(xué)過程數(shù)學(xué)建模時，得到一數(shù)學(xué)關(guān)系，是一數(shù)列，其中各項表達(dá)如下：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}}$

其中：

i = 自然數(shù)，即1, 2, 3, ... 正無窮
a, b = 均為不同的、大于0的正整數(shù)
${x_0}$ = 大于0的正整數(shù)

求：在i趨于無窮大時，此數(shù)列的和，即： $\sum\limits_{i = 1}^\infty{{x_i}}$

-----------------------------------分割線-----------------------------------

目前，我自己做了下面的嘗試，把此數(shù)列中各項都用 ${x_0}$ 來表達(dá)，即：
${x_1} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{1}{2}}}}} \cdot {x_0} = \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_1} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
${x_3} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_2} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0}$
$\vdots$
${x_i} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_{i - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 2}}{{i - 1}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {{\left( {i - 1} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{i - 3}}{{i - 2}}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {{\left( {i - 2} \right)}^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot\cdots\cdot \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {3^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{1 + \frac{a} \cdot {2^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{a} \cdot {1^{ - \frac{7}{6}}}}} \cdot {x_0} = \frac{{\left[ {{{\left( {\frac{{i - 1}}{i}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]!}}{{\left( {1 + \frac{a} \cdot {i^{ - \frac{7}{6}}}} \right)!}} \cdot {x_0}$
如果這樣沒錯的話，則得到 ${x_i}$ 的通項公式為一階乘表達(dá)式（我不確定，這個用階乘表達(dá)的通項公式我是否寫的數(shù)學(xué)上正確）。但到了這步后，我就進(jìn)行不下去了，不知該怎樣求此數(shù)列的和。google了一下，似乎有提到Stirling's approximation，不知對口不對口。

懇請大家的幫助！非常感謝先！

[ Last edited by xc79522 on 2013-8-30 at 11:23 ]

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1樓 2013-08-30 18:06:17

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daxiaobing

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

分子分母都不是階乘！

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4樓2013-08-31 00:13:49

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yunmeng57

禁蟲 (初入文壇)

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2樓2013-08-30 21:29:22

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引用回帖:

2樓: Originally posted by yunmeng57 at 2013-08-30 14:29:22
分母不對，分母不是階乘，是連乘！

謝謝回復(fù)！

你是指分母用階乘表達(dá)不對，是么？

但分母和分子中都只是 i 逐一遞增。

若分母不是階乘，那分子也應(yīng)該不是階乘吧。

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3樓2013-08-30 21:50:05

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都是連乘，其中分子可以化簡合并一下

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5樓2013-08-31 00:19:08

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