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oofree木蟲 (小有名氣)
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[求助]
請(qǐng)教含指數(shù)函數(shù)的定積分
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遇到下面這樣的定積分，一直搞不定，只好來數(shù)學(xué)版求助 |
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oofree
木蟲 (小有名氣)
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hank6123樓2013-09-13 02:24:17
hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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oofree: 金幣+10, ★★★★★最佳答案 2013-09-13 00:51:00
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我先用Mathematica看到了答案, 然后再還原步驟,所謂知其然后知其所以然也. 你的積分等于 Exp(-2m) * Integrate[ Exp[-(x-m/x)^2], {x, 0, Infinity} ]. 把常數(shù)因子Exp(-2m)先擱一邊, 考慮變量替換 y=x - m/x, 當(dāng)x 從零到正無窮大時(shí), y從負(fù)無窮大到正無窮大, 并且x只能取一個(gè)單值分支: x=1/2 * [ y + Sqrt[y^2 +4m] ], 因此 dx/dy = 1/2 + 1/2 * y/Sqrt[y^2+4m]. 所以定積分(變量替換后) 為: Integrate[ Exp[ -y^2 ] * (1/2 + 1/2 * y/Sqrt[y^2+4m] ), {y, -Infinity, Infinity}]. 前半部分是現(xiàn)成結(jié)果Integrate[ Exp[ -y^2 ] * 1/2, {y, -Infinity, Infinity}] = Sqrt[ Pi ]. 后半部部分是個(gè)奇函數(shù), 積分為0. 因此原來的定積分答案為: Exp(-2m)* Sqrt[ Pi ]. |
2樓2013-09-13 00:38:03
hank612
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4樓2013-09-13 03:00:04
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