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風(fēng)飛隨影金蟲 (小有名氣)
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[求助]
二階張量雙點乘三階張量
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圖一是書上三階張量雙點乘二階張量，問最后結(jié)果是否為圖2中？ 另外需要求助的是二階張量雙點乘三階張量，求和具體求解過程。 十分感謝 1.jpg 2.png 3.png |
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hank612
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http://www.materials.uoc.gr/el/g ... _DYNAMICS_CRETE.pdf 樓主可以看到這個練接么? 我對物理的這種矩陣表示的張量看得很暈頭轉(zhuǎn)向, 就找找文獻. 我打不出來張量積符號, 就是一個圓圈里面有個X的那個, 就用#來代替吧. 就我個人理解, (  很有可能是錯的), 雙點乘 : 就是說a_ijk ei # ej # ek : b_mn em #en = a_ijk b_mn (ei, em) (ej, en) ek. 其中(.,.)表示內(nèi)積, 重復(fù)指標(biāo)代表Einstein求和, 但不要求一上一下. 依這樣的定義, 雙點乘 : 是可交換的運算, T:d =d:T. |
2樓2013-09-28 01:25:50
hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
風(fēng)飛隨影: 金幣+15, ★★★很有幫助, 你打的這些我看不懂耶，圖一是書上的，肯定正確的，圖2我是接著圖1繼續(xù)算下去的，對不對我就不知道了。。。D：T和T：D應(yīng)該是不等的~總之很感謝你~ 2013-09-28 10:36:43
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風(fēng)飛隨影: 金幣+15, ★★★很有幫助, 你打的這些我看不懂耶，圖一是書上的，肯定正確的，圖2我是接著圖1繼續(xù)算下去的，對不對我就不知道了。。。D：T和T：D應(yīng)該是不等的~總之很感謝你~ 2013-09-28 10:36:43
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經(jīng)過觀察附件中的PDF文件, 我發(fā)現(xiàn)張量間的內(nèi)積按照就近原則計算. 比如說 a_ijkl ei # ej # ek # el : b_mnp em # en #ep = a_ijkl b_mnp ei (el, em)(ek, en) (ej, ep) = a_ijkl b_lkj ei. 如此看來, 樓主的計算是有錯誤的. 你的 T張量是 f_ijk ei #ej #ek, 其中按照矩陣系數(shù), f_ij1= a_ij, f_ij2=b_ij, f_ij3=c_ij. 那么 f_ijk ei # ej # ek : d_mn em # en = f_ijk d_kj ei. 換句話說, 你算的 i=e1的系數(shù)應(yīng)該是 a1j d1j + b1j d2j + c1j d3j, 而圖片中你的答案是aj1 d1j + bj1 d2j + cj1 d3j. 另外, 依照我上述的原則, d : T 很容易得到, 它不等于T: d. d_mn em # en : f_ijk ei # ej # ek = f_ijk d_ij ek, 比如, 向量i=e1的系數(shù)是 aij dij, (Eienstein 求和), 和bij, cij 無關(guān). 樓主有辦法驗證這點么? |
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2013-09-28 02:50:57, 56.66 K
3樓2013-09-28 02:51:06
風(fēng)飛隨影
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4樓2013-09-28 10:38:56
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6樓2013-09-28 15:07:30
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7樓2013-09-28 15:39:46
hank612
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我的Latex不支持中文， 就不編輯成PDF了，你只要把# 當(dāng)成張量積符號（圈內(nèi)有個叉號的）就好了。 一維張量是 向量， 我們就以n=3維空間為例，v= a_i e_i (Einstein求和), 其中e_1, e_2, e_3 是標(biāo)準正交積， 就是說 (e_i, e_j)= delta (i j), 如果做向量內(nèi)積的話。 物理里面用i, j, k 來表示標(biāo)準正交基。 所以同一個v, 用物理表示就是 v1 i + v2 j + v3 k. 二維張量是矩陣，有n^2=9個元素。 用張量符號就是 D= d_{i j} e_i # e_j. 用兩個向量作張量積就可以得到二維張量， 比如 (a_i e_i) # (b_j e_j) = (a_i*b_j) e_i # e_j. 換成矩陣來說， (i j) 位置的元素是 a_i * b_j 而已，只是用張量積符號，不用真的去畫個3*3的矩陣了，太費地方啊。 三維張量是個立體矩陣，有n^3=27個元素 ，就是在i, j, k 三個方向的投影分別都是一個二維矩陣9個元素， 你給的T就是i 方向是矩陣A=(a_{ij}), j方向是矩陣B=(b_{ij}), k 方向是矩陣C=(c_{ij}), 可是用張量符號還是一行：T= f_{ijk} e_i # e_j # e_k. 比方說， 方向 k X j X k 的系數(shù)是什么呢？ 就是 f_{323} =c_{32} 啊。 現(xiàn)在比較張量乘法。以你的二階點乘一階為例。 T. v= T_{ij} e_i # e_j \dot A_m e_m = T_{ij} A_m e_i (e_j, e_m)= T_{ij} A_j e_i. 就是說，在二階（或更高階）張量中，只有最靠近后面的那些分量作了內(nèi)積， 多余的分量不參和運算。 當(dāng)然， 這樣方便的背后是犧牲了交換性的。 比如， v.T= A_i e_i \dot T_{mn} e_m # e_n = A_i T_{mn} e_n (e_i, e_m)= T_{ij} A_i e_j. 你要注意的是，求和下標(biāo)（稱為啞元）是可以隨便選取變量名字的，比如i,j,k,l, m,n,p,q，甲，乙，丙什么的。 我是看哪個順眼（不混淆）就用哪個的。 再來個三階點乘兩階的。 T.D=T_{ijk} e_i # e_j #e_k \dot d_{mn} e_m # e_n = T_{ijk} d_{mn} e_i # e_j \dot e_n (e_k, e_m) (我們先滅了最相鄰的一對 e_k 和e_m) = T_{ijk} d_{mn} e_i (e_j, e_n) (e_k, e_m) （再滅一對） = T_{ijk} d_{kj} e_i. 這乘法我喜歡， 夠簡單。 至于你想要的，把它矩陣形式的系數(shù)慢慢寫出來吧。 這個規(guī)則， 對m階點乘 n階張量都沒問題， 如果寫成矩陣形式， 立體矩陣煩都煩死了， 在系數(shù)叢林里暈頭轉(zhuǎn)向， 完全沒看到背后簡單到極點的規(guī)則。 |
8樓2013-09-29 01:07:03
風(fēng)飛隨影
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9樓2013-09-29 09:40:12
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10樓2013-09-29 10:34:30
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