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thematicsroy新蟲 (小有名氣)
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[求助]
求助一個簡單的矩陣行列式問題~~~
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已知有矩陣A,B滿足：AA+I=0，AB=BA，求證det(B)>=0, 囧，看起來挺簡單的題吧，就是想不起來怎么做了。。。所以特來求助各位~謝謝了 |
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hank612
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【答案】應助回帖
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感謝參與，應助指數(shù) +1
thematicsroy: 金幣+5, ★★★很有幫助, 謝謝~ 2013-12-03 18:18:09
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thematicsroy 加了一個超強的限制條件， 使得 maolo927的反例不構成干擾。 B的行列式來自它的特征值的乘積， 我們逐項分析。 考慮Ker( (B-lambda)^n ), 設它的維數(shù)為k, 那么這個lambda對行列式的貢獻是 lambda^k 這個因子。 如果lambda是復數(shù)(不是實數(shù)), 那么由于B是實數(shù)矩陣，lambda的共軛(lambda BAR) 也以相同次數(shù)成對出現(xiàn)，兩撥合起來對 對行列式的貢獻是 |lambda|^k 這個正的因子。 如果lambda是實數(shù), 由于AB=BA, Ker( (B-lambda)^n )是A-不變子空間。 (就是說，if (B-lambda)^n (w)=0, then (B-lambda)^n (Aw)=0 ). 也就是說， Ker( (B-lambda)^n )可以分解成 A 的不可約不變子空間的直和�？墒牵捎贏是實數(shù)矩陣， 它的最小多項式必須等于X^2+1, 從而它的任意一個不可約的不變子空間都是2 維的，形如(w, Aw)兩個向量張成。 因此 k是偶數(shù)， 所以lambda^k 這個因子是非負的。 所以thematicsroy， Peterflyer， feixiaolin等的猜測成立。 |
12樓2013-12-02 02:13:08
peterflyer 
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