alinforest

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[求助] 請(qǐng)教一個(gè)關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的題目

請(qǐng)教大家一個(gè)問(wèn)題
我在學(xué)一本矩陣的英語(yǔ)教材上面有道題目是這樣的
Show that if p, q are scalar polynomials and
P(λ)+q(λ)=h(λ), p(λ)q(λ)=t(λ),
then, for any square matrix A;
P(A)+()=h(A), p(A)q(A)=t(A).
Verify also that if
p(λ)=q(λ)d(λ)+r(λ),
then, for any square matrix A;
p(A)=q(A)d(A)+r(A)

看起來(lái)很簡(jiǎn)單，可是卻毫無(wú)頭緒...
真誠(chéng)請(qǐng)教數(shù)學(xué)系的同學(xué)

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1樓 2013-08-15 20:28:27

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hank612

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alinforest: 金幣+15, 謝謝~~ 2013-08-16 09:33:44

這牽涉到你如何對(duì)待多相識(shí)了。把Lambda 當(dāng)作純粹的符號(hào)，只滿足 Lamda^i * Lambda^j = Lambda^(i+j), 然后張成線性空間，那么你把矩陣A 帶入成該符號(hào)，那些式子自然成立。

這種情況就像組合理論中，討論生成多項(xiàng)式一樣，那里的乘法，微分，都是形式運(yùn)算，不需要收斂性，賦值等考慮。

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2樓2013-08-15 22:58:01

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alinforest

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2013-08-15 22:58:01
這牽涉到你如何對(duì)待多相識(shí)了。把Lambda 當(dāng)作純粹的符號(hào)，只滿足 Lamda^i * Lambda^j = Lambda^(i+j), 然后張成線性空間，那么你把矩陣A 帶入成該符號(hào)，那些式子自然成立。

這種情況就像組合理論中，討論生成多 ...

感覺(jué)λ應(yīng)該是A的特征值

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3樓2013-08-16 09:49:22

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3樓: Originally posted by alinforest at 2013-08-16 09:49:22
感覺(jué)λ應(yīng)該是A的特征值...

如果是特征值，就很象Cayley-Hamiltion 定理：如果f(x)是矩陣A的特征多項(xiàng)式，那么f(A)=0. 當(dāng)然這定理貌似和你敘述的性質(zhì)沒(méi)啥關(guān)系。

Cayley-Hamiltion 定理是一個(gè)非常自然的性質(zhì)。首先對(duì)一個(gè)Jordan塊成立，因?yàn)檫@時(shí)的f(A)是冪零的。然后，對(duì)A不妨設(shè)為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，對(duì)任意一個(gè)向量v, 針對(duì) ker( (A-lambda_i)^{k_i} )作直和分解，每個(gè)分量f(A)作用上去都是零，因此f(A)v=0, 故f(A)=0.

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4樓2013-08-16 12:55:54

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4樓: Originally posted by hank612 at 2013-08-16 12:55:54
如果是特征值，就很象Cayley-Hamiltion 定理：如果f(x)是矩陣A的特征多項(xiàng)式，那么f(A)=0. 當(dāng)然這定理貌似和你敘述的性質(zhì)沒(méi)啥關(guān)系。

Cayley-Hamiltion 定理是一個(gè)非常自然的性質(zhì)。首先對(duì)一個(gè)Jordan塊成立，因?yàn)檫@ ...

說(shuō)錯(cuò)啦是特征根不是特征值

這么看來(lái)是很自然的也很神奇那這道題應(yīng)該怎么show呢
我還沒(méi)學(xué)到Cayley-Hamilton 定理...

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5樓2013-08-16 20:16:37

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alinforest: 金幣+15 2013-08-17 12:10:46

實(shí)際上這個(gè)題目是說(shuō)的矩陣相乘可不可以交換；
對(duì)于一般方陣 A B， AB 不一定等于 BA；
但是如果是 P(A) , Q(A), 則 P(A)*Q(A) = Q(A)*P(A);

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6樓2013-08-17 10:43:13

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6樓: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-17 10:43:13
實(shí)際上這個(gè)題目是說(shuō)的矩陣相乘可不可以交換；
對(duì)于一般方陣 A B， AB 不一定等于 BA；
但是如果是 P(A) , Q(A), 則 P(A)*Q(A) = Q(A)*P(A);

嗯應(yīng)該就是關(guān)于矩陣可不可以交換
在這個(gè)題目前面有一段話
since every square matrix commutes with itself, all polynomials in a given matrix commute with one another.

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7樓2013-08-17 12:25:26

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