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alinforest新蟲 (小有名氣)
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[求助]
請(qǐng)教一個(gè)關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的題目
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請(qǐng)教大家一個(gè)問題 我在學(xué)一本矩陣的英語教材 上面有道題目是這樣的 Show that if p, q are scalar polynomials and P(λ)+q(λ)=h(λ), p(λ)q(λ)=t(λ), then, for any square matrix A; P(A)+()=h(A), p(A)q(A)=t(A). Verify also that if p(λ)=q(λ)d(λ)+r(λ), then, for any square matrix A; p(A)=q(A)d(A)+r(A) 看起來很簡(jiǎn)單，可是卻毫無頭緒... 真誠請(qǐng)教數(shù)學(xué)系的同學(xué)  |
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hank612
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如果是特征值，就很象Cayley-Hamiltion 定理：如果f(x)是矩陣A的特征多項(xiàng)式，那么f(A)=0. 當(dāng)然這定理貌似和你敘述的性質(zhì)沒啥關(guān)系。 Cayley-Hamiltion 定理是一個(gè)非常自然的性質(zhì)。首先對(duì)一個(gè)Jordan塊成立，因?yàn)檫@時(shí)的f(A)是冪零的。然后， 對(duì)A不妨設(shè)為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，對(duì)任意一個(gè)向量v, 針對(duì) ker( (A-lambda_i)^{k_i} )作直和分解，每個(gè)分量f(A)作用上去都是零，因此f(A)v=0, 故f(A)=0. |
4樓2013-08-16 12:55:54
hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
alinforest: 金幣+15, 謝謝~~ 2013-08-16 09:33:44
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這牽涉到你如何對(duì)待多相識(shí)了。把Lambda 當(dāng)作純粹的符號(hào)，只滿足 Lamda^i * Lambda^j = Lambda^(i+j), 然后張成線性空間， 那么你把矩陣A 帶入 成該符號(hào)， 那些式子自然成立。 這種情況就像組合理論中，討論生成多項(xiàng)式一樣，那里的乘法，微分，都是形式運(yùn)算，不需要收斂性， 賦值等考慮。 |
2樓2013-08-15 22:58:01
alinforest
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3樓2013-08-16 09:49:22
alinforest
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說錯(cuò)啦 是特征根不是特征值
5樓2013-08-16 20:16:37
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