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1樓 2013-12-02 22:04:55

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信彼南山

木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

dv/dt = -mg - k*v^2

解微分方程就是了么
需要給出拋出點(diǎn)的高度h，拋出的初速v0，以及阻力系數(shù)k

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2樓2013-12-02 23:27:47

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peterflyer

木蟲(chóng)之王 (文學(xué)泰斗)

peterflyer

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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華麗的飄過(guò): 金幣+10, 3q 2013-12-04 00:12:57
再來(lái)一程: 金幣+5, 此題已解決，謝謝您的幫助。前幾天實(shí)習(xí)，沒(méi)時(shí)間回復(fù)，在此說(shuō)聲抱歉。 2013-12-08 11:21:54

求解過(guò)程：
本題的求解要分為上升和下降兩個(gè)方面，他們各自有各自的方程和初始條件。設(shè)物體的質(zhì)量為m，速度為V，位移為H，阻力系數(shù)為k,則由題中已知條件可得以下推導(dǎo)過(guò)程：
（1）上升階段：
由牛頓第二定律：m*dV/dt =-m*g- k*V^2 ,初始條件為t=0時(shí)，V=V0，H=0。
Arctg{sqrt[k/(m*g)]*V}=C-sqrt{k*g/m}*t
將t=0時(shí)V=V0代入上式，C=arctg{ sqrt[k/(m*g)]*V 0}
故V=dH/dt={V0-sqrt(m*g/k)*tg[sqrt(k*g/m)*t]}/{1-V0*sqrt[k/(m*g)]*tg[sqrt(k*g/m)*t]}
令u=tg{sqrt[k*g/m]*t/2}
則：tg{sqrt[k*g/m]*t}=2*u/(1-u^2) ,dt=2*sqrt[m/(k*g)]/(1+u^2)*du
另外注意到，被積式子可以使用代數(shù)的知識(shí)分解為：
2*Sqrt[m/k*g]/(1+u^2)+4*[V0^2-m*g/k]/g*{(α*u+β)/(1+u^2)
+γ/{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-{u+sqrt[k/(m*g)]*V0}}
+δ/{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-{u+sqrt[k/(m*g)]*V0}}}
其中的α、β、γ、δ均可通過(guò)待定系數(shù)法確定。將其代入積分中，得到：
H=V0*t+4*[V0^2-m*g/k]/g*{-1/2*a*Cos[sqrt(k*g/m)*t]+1/2*β*sqrt(k*g/m)*t
+γ*Ln{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-sqrt[k/(m*g)]-tg[sqrt(k*g/m)/2*t]}
+δ*Ln{ sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]+sqrt[k/(m*g)]+tg[sqrt(k*g/m)/2*t]}} + D
將t=0時(shí)H=0代入上式
D=4*[V0^2-m*g/k]/g*｛a/2-γ*Ln{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-sqrt[k/(m*g)]}
-δ*Ln{ sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]+sqrt[k/(m*g)]}}
D代入H的表達(dá)式即可完全確定物體上升階段的位移隨時(shí)間變化的情況。
令V=0，解出:
t*=sqrt[m/(k*g)]*arc{V0*sqrt[k/(m*g)]}，
將t=t*代入H的表達(dá)式，即可求出物體上升的最高高度H*。
(2) 下降階段：
方程：m*dV/dt=m*g-k*V^2 ，初始條件為：t=0,H=H*，t=0時(shí)V=0
1/2*Ln{{1+sqrt[k/(m*g)]*V}/{1-sqrt[k/(m*g)]*V}}=sqrt(k*g/m)*t+E
將t=0時(shí)V=0代入上式，得到：E=0
故有：V={exp{sqrt[k*g/m]*t}-1}/{exp{sqrt[k*g/m]*t}+1}*sqrt(m*g/k)
由V=dH/dt ，并令u= exp{sqrt[k*g/m]*t}，dt=sqrt[m/(k*g)]*du/u
H=m/k*{2*Ln{1+exp[sqrt(k*g/m)*t]}-sqrt(k*g/m)*t} + F
將t=0,H=H*代入H的表達(dá)式，得到：F= H*- 2*Ln2*m/k
將F代入上式，得到下降階段物體高度與時(shí)間的關(guān)系：
H= m/k*{2*Ln{1+exp[sqrt(k*g/m)*t]}-sqrt(k*g/m)*t} + H*- 2*Ln2*m/k
令上式中的H=0，求解出t=T，即t=T時(shí)物體落回地面。將t=T代，得到物體落回地面時(shí)的速度V**。

解題完畢。

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3樓2013-12-03 23:21:45

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再來(lái)一程

禁蟲(chóng) (小有名氣)

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4樓2013-12-08 11:24:05

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信彼南山

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華麗的飄過(guò): 當(dāng)然有，就是v=-msqrt{frac{g}{k}}tanleft(frac{sqrt{kg}t}{m}-sqrt{gk}mv_0right) 2013-12-10 02:36:39
華麗的飄過(guò): 錯(cuò)了，應(yīng)該把m寫(xiě)成\sqrt{m} 2013-12-10 02:37:42

這玩意有解析解？？

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5樓2013-12-09 22:46:07

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