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heyinprc

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[求助] 幾個(gè)數(shù)學(xué)分析問題求助

1.設(shè) $f(x)$ 在R上二階連續(xù)可微， $|f(x)|\leq 1,|f(0)|+|f\prime(0)|^2=4$ ,求證： $\exists\xi\in R,S.T.\quad f(\xi)+f\prime\prime(\xi)=0$ .

2.設(shè) $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}ne^{-n}\cos nx$ ，求證
（1） $\max\limits_{0\leq x\leq 2\pi}|f(x)|\geq\dfrac{2}{e}$ ;
（2） $f\prime(x)$ 存在且連續(xù)。
（3） $\max\limits_{0\leq x\leq 2\pi}|f\prime(x)|\geq\dfrac{2}{\pi e}$

3.若級(jí)數(shù) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\quad (a_n>0)$ 發(fā)散，證明：存在收斂于零的正項(xiàng)級(jí)數(shù) ${b_n}$ ,使得級(jí)數(shù) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ 發(fā)散。

參見下圖：

que.gif

[ Last edited by feixiaolin on 2013-12-8 at 19:56 ]

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1樓 2013-12-08 12:00:16

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qy_fighting

銅蟲 (初入文壇)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
heyinprc(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2013-12-10 07:50:41
heyinprc: 金幣+5, ★★★很有幫助, 1）與3）我確實(shí)是這樣寫的，不過1）我覺得自己這樣寫好像不太嚴(yán)謹(jǐn)。 2013-12-10 21:01:22

1）考慮g(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2
2) 結(jié)合一致收斂性，和Parseval定理
3）bn=1/Sn ,Sn=a1+a2+,...,+an 應(yīng)該可以吧

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2樓2013-12-09 00:33:06

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laosam280

禁蟲 (正式寫手)

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

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3樓2013-12-09 11:01:23

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heyinprc

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4樓2013-12-10 21:02:19

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
heyinprc(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2013-12-11 20:28:29

引用回帖:

4樓: Originally posted by heyinprc at 2013-12-10 21:02:19
本樓稍后也貼出自己的證明共大家提建議

第二題：
利用 Sum_{n=1}^Infinity n* x^n = x/ (1-x)^2, 證明
f(0)= e/ (e-1)^2 > 2/e;  f(Pi) = - e/ (e+1)^2. 進(jìn)一步證明
存在0<x<Pi 使得 f’(x)= ( f(0)-f(Pi) ) /Pi = 2e/Pi * (e^2+1)/(e^2-1) > 2e/Pi.

第一題：我們假設(shè)命題不成立，不妨設(shè)f(x) + f’’(x) >0. (否則可以考慮h(x)= -f(x), 它滿足同樣假設(shè), 但是 h(x)+ h’’(x) >0 ). 不妨設(shè) f’(0) >0, 否則可以考慮 f(-x).

考慮函數(shù) g(x):= Integral_0^x  [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(0) -x * f’(0).
這個(gè)函數(shù)是特意設(shè)計(jì)滿足 g(0)=g’(0)=0, g’’(x)= f(x) +f”(x).
g’’(x) >0 指 g(x) 是凸函數(shù)，在R上有唯一最小值 g(0)=0.

記f’(0)=a. 考慮 x=a, 那么 g(a)>0 以及 |f(x)| <=1 推出
Integral_0^ a (a -t)dt  > f(0) -f(a) +  a^2.  即 1/2*a^2 > f(0) -f(a) + a^2.
如果 f(0) >=0, , f(a) > f(0)/2 + ( f(0) + a^2)/2 >=2, 不可能的。
所以 f(0) <0.
這時(shí)，一個(gè)凸函數(shù)在上升段只能越升越快，我們斷言存在f(d)=0 并且 d>0. 如果取d 使得f(x)在(0, d) 之間再無零點(diǎn)，那么 f’(d) > f’(0)> sqrt(3) >d >0.

這時(shí)考慮 Integral_d^ x [(x-t)*f(t)] dt + f(x)- f(d) -x * f’(d). 并且取 x=f’(d),
那么應(yīng)該有 f ( f’(d)) > 1/2 * f’(d)^2. 這是不可能的。

這勉強(qiáng)算是個(gè)七拼八湊的解答吧。

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We_must_know. We_will_know.

5樓2013-12-11 00:30:41

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迷失的心

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引用回帖:

3樓: Originally posted by laosam280 at 2013-12-09 11:01:23
第一題很有意思，我覺得題目中的第二個(gè)條件甚至都不是必須的。
只需要函數(shù)二階連續(xù)可微，且絕對(duì)值小于1即可。
我的證明思路如下，考慮函數(shù)cos(x)，這個(gè)函數(shù)滿足絕對(duì)值小于1，并且cos(x)+cos''(x)=0，
所以只需要 ...

我的見解如下：

1.png

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努力才能做到最好

6樓2013-12-11 22:04:00

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heyinprc

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引用回帖:

6樓: Originally posted by 迷失的心 at 2013-12-11 22:04:00
我的見解如下：

1.png
...

我的證明結(jié)果如下，請(qǐng)大家批評(píng)指正。

YP20131211220209.jpg

YP20131211220231.jpg

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7樓2013-12-11 22:11:07

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