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[求助]
曲面積分計(jì)算 已有2人參與
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已知：r、R、a、b>0；R>r。 1、求球體x^2+y^2+z^2=r^2被圓柱體(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0所截下部分的曲面面積。 2、求球體x^2+y^2+z^2=r^2被圓柱體(x-a)^2+z^2=R^2和平面y=0、y=-b所截下部分的曲面面積。 請(qǐng)高手給出詳細(xì)的求解步驟！書(shū)上只有一個(gè)基本公式： Snap2.jpg |
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2樓2014-01-07 13:58:04
peterflyer 
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【答案】應(yīng)助回帖
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zhengjx: 金幣+20, ★★★很有幫助, 非常感謝！交點(diǎn)坐標(biāo)好像不對(duì)。 2014-01-08 11:17:24
zhengjx: 金幣+20, ★★★很有幫助, 非常感謝！交點(diǎn)坐標(biāo)好像不對(duì)。 2014-01-08 11:17:24
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（1）第一問(wèn) 此處由于圓柱體為(x-a)^2+z^2=R^2，積分區(qū)域S在XOZ平面上，是圓(x-a)^2+z^2=R^2和圓x^2+z^2=r^2的交集，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為P和Q， 故xP=(r^2-R^2)/(2*a) ； xQ=xP zP=sqrt{r^2-xP^2} ； zQ=-zP 故而用下列公式求面積而不用樓主寫(xiě)的公式。 A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S} 其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz 所以： A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S} =Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx, a-sqrt[R^2-z^2], sqrt[r^2-z^2]}, zQ, zP} =Integral{π/2-ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP} =π/2*(zP-zQ)-Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)}, zQ, zP} =π*zP-2*Integral{ArcSin{[a-sqrt(R^2-z^2)]/sqrt(r^2-z^2)},0, zP} 后面的積分利用了被積函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)以及積分區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性，但它是個(gè)橢圓積分，積不出解析式出來(lái)，只能求數(shù)值積分。 |
3樓2014-01-07 22:06:53
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參考您的思路 第一問(wèn)： 1、交點(diǎn)應(yīng)為Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。 2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S} 其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz 考慮對(duì)稱(chēng)性， A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S} =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx} 積分上限x1=r，下限x2=xp，上限z1=zp，下限z2=0。 下一步怎么求，請(qǐng)繼續(xù)指導(dǎo)！非常感謝！ |
4樓2014-01-08 11:15:56
5樓2014-01-08 11:19:44
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6樓2014-01-08 11:49:13
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參考您的思路 第一問(wèn)： 1、交點(diǎn)應(yīng)為Xp=(a^2-R^2+r^2)/(2*a) 。 2、A=DoubleIntegral{sqrt[1+(Py/Px)^2+(Py/Pz)^2]*dS,S} 其中，y=sqrt{r^2-x^2-z^2}, dS=dx*dz 考慮對(duì)稱(chēng)性， A=DoubleIntegral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx*dz , S} =2*Integral{dz*Integral{r/sqrt[r^2-x^2-z^2]*dx} 積分上限x1=xp，下限x2=-r，上限z1=zp，下限z2=0。 積分上下限搞錯(cuò)了。 附圖片： Snap3.jpg |
7樓2014-01-08 11:49:48
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8樓2014-01-08 12:00:27
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9樓2014-01-08 12:02:32
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10樓2014-01-08 12:05:04
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