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math2000鐵桿木蟲(chóng) (職業(yè)作家)
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[求助]
求高斯解答數(shù)學(xué)分析中曲面積分試題。謝謝 已有3人參與
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2樓2014-01-05 16:39:28
feixiaolin
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3樓2014-01-05 18:25:41
math2000
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4樓2014-01-05 19:16:06
zywang1999
銀蟲(chóng) (小有名氣)
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
math2000: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 非常感謝 2014-01-05 20:15:54
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為便于描述，積分表示為Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S). 考慮到積分曲面為上半單位球面，球心在原點(diǎn)。分別計(jì)算三個(gè)積分。 P = tan[x^2/(1+|x|+|y|)] = tan[(1-z^2-y^2)/(1+|y|+sqrt(1-y^2-z^2) )]是 y、z 的偶函數(shù)。 把S分割為Sh（指向x軸正向）、Sb(指向x軸負(fù)向)兩部分，交線在zox面上，投影到y(tǒng)oz面上的區(qū)域都是Dyz。 則 Integrate(Pdydz, S) = Integrate(Pdydz, Sh) + Integrate(Pdydz, Sb) = Integrate(Pdydz, Dyz) - Integrate(Pdydz, Dyz) = 0. 同理可得，Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0. Integrate(Rdxdy, S) = Integrate((1-x^2-y^2)^1.5, Dxy) = Integrate(da, 0, 2Pai) * Integrate( (1-r^2)^1.5 * r dr, 0, 1) (令u = r^2) = Pai * Integrate( (1-u)^1.5, 0, 1) = 2Pai/5. 所以Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S) = 2Pai/5. |
5樓2014-01-05 19:17:13
math2000
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(1) Q不是偶函數(shù)，積分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立. 結(jié)果為0，是由積分區(qū)域S=Sr + Sl (右邊和左邊曲面)，Sr指向y軸正向而Sl指向y軸負(fù)向。 Integrate(Qdzdx,S) = Integrate(Qdzdx,Sr) + Integrate(Qdzdx,Sl) =Integrate(Qdzdx,Dzx) - Integrate(Qdzdx,Dzx) = 0（對(duì)于Sl, 投影后積分號(hào)前為負(fù)號(hào)） (2) 采用極坐標(biāo)計(jì)算。(1-u)^1.5du = d[1/(1+1.5) * (1-u)^2.5 *(-1)] |
7樓2014-01-05 21:27:45
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8樓2014-01-05 21:58:17
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9樓2014-01-05 23:08:57
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10樓2014-01-06 18:14:04
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