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三角函數(shù)
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三角函數(shù)在現(xiàn)代眾多學科中應用非常廣泛，因為它具有很好的數(shù)學性質(zhì)：（1）任何函數(shù)都可以用有理函數(shù)逼近，而有理函數(shù)都可以用三角函數(shù)逼近，任意的函數(shù)總能展開成三角級數(shù)；（2）三角函數(shù)是正交完備的函數(shù)，正交性可簡化計算且可避免求解聯(lián)立方程，完備性可使級數(shù)收斂于精確解。所以，三角函數(shù)可以說是各種函數(shù)的基礎，其圖像也是各種圖形的基礎。 三角函數(shù)之所以能得到大量應用決不是偶然的。從哲學意義上來分析，三角函數(shù)具有良好的哲學性質(zhì)： （1）根據(jù)辯證的否定觀：任何事物產(chǎn)生之時，都孕育了否定自己的因素，隨著條件的變化和內(nèi)部斗爭的發(fā)展，否定因素不斷壯大。當此變化累積到一定程度時，它將戰(zhàn)勝肯定因素而居于主導地位，導致事物發(fā)生變化。因此辯證的否定是事物的自我否定。事物發(fā)展是“肯定——否定——否定之否定”的過程。對于三角函數(shù)的波形來說，它對x軸的遠離和接近構(gòu)成了一對肯定因素和否定因素，兩者不斷此消彼長，相互否定，所以函數(shù)在Y軸的投影變化是不斷“增大——減小——再增大”的周期性過程。道家哲學中對此有相應論述：“天下萬物生于有，有生于無”（《老子》第40章）。老子認為萬物從“無”—否定來開始生成發(fā)展，同時，“反者道之動”（《老子》第40章），符合馬克思主義的辯證發(fā)展觀�！坝小敝蟮陌l(fā)展趨勢必然是“無”，“大”之后必然趨向“小”。 （2）任何辯證的運動過程都不是封閉的循環(huán)，也不是直線性的前進，而是不斷的螺旋式上升過程。所以三角函數(shù)縱坐標值的變化也不是線性的。 （3）半個波長的形狀為什么不是半圓形呢？根據(jù)任何事物內(nèi)部都包含肯定因素和否定因素兩個方面的辯證法觀點，半個波長的形狀應當既具有圓形的性質(zhì)，又具有線性（非圓形）的性質(zhì)，所以實際表現(xiàn)為兩者的折中體。由此，我們不難理解地球是一個近似于繞著橢圓短軸旋轉(zhuǎn)的橢球而不是標準球形。如老子所說：“大成若缺，其用不弊；大盈若沖，其用不窮。大直若曲”（《老子》第45章）。 （4）事物內(nèi)部矛盾的雙方不斷地進行斗爭轉(zhuǎn)換，在此過程中，主導地位從一個性質(zhì)向另一性質(zhì)的轉(zhuǎn)換時間顯然相對比較短暫，所以事物內(nèi)某種單一性質(zhì)占絕對優(yōu)勢的情況必定不占多數(shù)，對應三角函數(shù)的上升和下降段形狀是凸的，也即縱坐標值的上升和下降都比較迅速。由此聯(lián)想到隨機變量中最常見的正態(tài)分布，其形狀的性質(zhì)和正弦曲線是一致的。已經(jīng)證明，大量獨立的隨機變量的迭加結(jié)果也正是正態(tài)分布。 |
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