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小木蟲論壇-學術科研互動平臺 » 專業(yè)學科區(qū) » 數(shù)學 » 基礎數(shù)學 » 求助大神
| 查看: 1000 | 回復: 10 | |||
[求助]
求助大神 已有3人參與
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| 怎樣證明單位圓內(nèi)接正n邊形（n≥7）不能用6個直徑為1的圓覆蓋？ |
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feixiaolin
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2樓2014-03-05 23:35:40
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5樓2014-03-06 00:31:01
feixiaolin
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6樓2014-03-06 08:29:26
7樓2014-03-06 13:06:43
feixiaolin
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是 |
8樓2014-03-06 13:08:48
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hank612
至尊木蟲 (著名寫手)
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【答案】應助回帖
感謝參與，應助指數(shù) +1
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其實這個問題的關鍵所在已經(jīng)由feixiaolin大神指出了, 我想把細節(jié)稍微補充一下. 假設六個直徑1/2小圓可以覆蓋單位圓內(nèi)接正n邊形, 將每個小圓圓心與大圓圓心連線,那么至少有一對相鄰線段, 它們的夾角大于等于60度. (不妨設沒有小圓, 圓心與大圓圓心重合, 為什么可以?) 不妨設夾角正好就是60度(為什么可以?) 現(xiàn)在考慮扇形 z=r*exp(i*Pi/6), z=r*exp(-i*Pi/6), 不妨設小圓要覆蓋 z=1/2*exp(+/- i*pi/6) (為什么要?), 那么圓心就不能在單位圓外部. 那么, 兩個小圓能夠覆蓋的X軸上點最遠為 ( Cos(Pi/6),0) ( 當且僅當有個小圓圓心在單位圓周上). 設正n邊形在第一象限離點(1,0)最近的頂點為 z=exp(i*a), 0<=a <2*Pi/n. 那么在第四象限離點(1,0)最近的點就是 exp(i*(a-2Pi/n)). 這兩點連線, 交X軸于點(b,0), 其中 b=Cos(Pi/n) / Cos(Pi/n-a). (利用解析幾何,算一下). 顯然 b>= Cos(Pi/n) > Cos(Pi/6) 如果n>6. 換句話說, 兩小圓夠不著點 (b,0), 因此不構成覆蓋. |
10樓2014-03-08 03:47:44
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