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lypku新蟲 (小有名氣)
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[求助]
求助大神 已有3人參與
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| 怎樣證明單位圓內(nèi)接正n邊形（n≥7）不能用6個(gè)直徑為1的圓覆蓋？ |
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2樓2014-03-05 23:35:40
【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
| 單位圓半徑為1，內(nèi)接正n邊形時(shí)可從圓心向n個(gè)頂點(diǎn)引n條線段等于半徑1，而6個(gè)直徑為1圓最多可以覆蓋6條不重合的線段（圓內(nèi)最長(zhǎng)的距離就是直徑啊），因?yàn)閺膱A心所引的n條線段的其中一個(gè)端點(diǎn)是重合的（另一個(gè)端點(diǎn)在單位圓圓周上），所以要覆蓋幾條線段就要幾個(gè)直徑1的圓，那么當(dāng)n大于等于7時(shí)，必定有n-6條線段無法被覆蓋，則對(duì)應(yīng)的正n邊形剩下的那n-6個(gè)角自然就無法被覆蓋了。 |
3樓2014-03-05 23:57:29
4樓2014-03-06 00:30:27
feixiaolin: 屏蔽內(nèi)容, 重復(fù)發(fā)帖 2014-03-06 07:06:23
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本帖內(nèi)容被屏蔽 |
5樓2014-03-06 00:31:01
feixiaolin
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6樓2014-03-06 08:29:26
lypku
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7樓2014-03-06 13:06:43
feixiaolin
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是 |
8樓2014-03-06 13:08:48
lypku
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9樓2014-03-06 14:00:42
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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其實(shí)這個(gè)問題的關(guān)鍵所在已經(jīng)由feixiaolin大神指出了, 我想把細(xì)節(jié)稍微補(bǔ)充一下. 假設(shè)六個(gè)直徑1/2小圓可以覆蓋單位圓內(nèi)接正n邊形, 將每個(gè)小圓圓心與大圓圓心連線,那么至少有一對(duì)相鄰線段, 它們的夾角大于等于60度. (不妨設(shè)沒有小圓, 圓心與大圓圓心重合, 為什么可以?) 不妨設(shè)夾角正好就是60度(為什么可以?) 現(xiàn)在考慮扇形 z=r*exp(i*Pi/6), z=r*exp(-i*Pi/6), 不妨設(shè)小圓要覆蓋 z=1/2*exp(+/- i*pi/6) (為什么要?), 那么圓心就不能在單位圓外部. 那么, 兩個(gè)小圓能夠覆蓋的X軸上點(diǎn)最遠(yuǎn)為 ( Cos(Pi/6),0) ( 當(dāng)且僅當(dāng)有個(gè)小圓圓心在單位圓周上). 設(shè)正n邊形在第一象限離點(diǎn)(1,0)最近的頂點(diǎn)為 z=exp(i*a), 0<=a <2*Pi/n. 那么在第四象限離點(diǎn)(1,0)最近的點(diǎn)就是 exp(i*(a-2Pi/n)). 這兩點(diǎn)連線, 交X軸于點(diǎn)(b,0), 其中 b=Cos(Pi/n) / Cos(Pi/n-a). (利用解析幾何,算一下). 顯然 b>= Cos(Pi/n) > Cos(Pi/6) 如果n>6. 換句話說, 兩小圓夠不著點(diǎn) (b,0), 因此不構(gòu)成覆蓋. |
10樓2014-03-08 03:47:44
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