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zslfw5222新蟲 (小有名氣)
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一個(gè)高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的問題 已有7人參與
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問題是“當(dāng)k取何值時(shí)，橢圓拋物面x^2+y^2/2=z與平面z=kx的交線是圓？” 把z=kx帶入到橢圓拋物面x^2+y^2/2=z中，得到了一個(gè)橢圓柱面x^2+y^2/2=kx。 這樣就變成討論橢圓柱面x^2+y^2/2=kx與平面z=kx的交線是圓的問題。 這樣做貌似進(jìn)行不下去了。 若把x=z/k帶入到橢圓拋物面x^2+y^2/2=z中，按照上面的思路貌似可做。 各位有沒有什么好的思路解決這個(gè)問題呢？ |
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2樓2014-03-11 11:02:31
zslfw5222
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“k=+ - sqrt(2), 變?yōu)閦^2 / 2 + y^2/2 = z，這就是圓柱面，投影到y(tǒng)oz面就是一個(gè)圓”在z=kx面上不是圓。 下面的結(jié)果也許好理解一些。 假設(shè)所求圓在某一球面(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2上，而且直徑相等。 顯然，(x0,y0,z0)在z=kx上，(0,0,0)在球面上。 從而 (x-2x0)x+(y-2y0)y+(z-2z0)z=0 (1+k^2)(x-2x0)x+(y-2y0)y=0 考慮到圖形的對稱性（z=kx以及z=x^2+y^2/2關(guān)于yoz面對稱），知y0=0。 當(dāng)y=y0=0時(shí)，(1+k^2)(x-2x0)x=0，z=kx，z=x^2，所以x0=k/2，z0=k^2/2. 故球面方程為 (x-k)x+(z-k^2)z+y^2=0 所求圓方程同時(shí)滿足 (x-k)x+(z-k^2)z+y^2=0 z=kx z=x^2+y^2/2 (1+k^2)(x-k)x+2(k-x)x=0恒成立 1+k^2=2 k=1,-1 |
7樓2014-03-12 10:16:13
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