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xu_k銀蟲 (小有名氣)
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[求助]
請(qǐng)問有多少個(gè)滿足條件的多面體
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凸多面體滿足：每個(gè)面是4、5和6邊形的一種，每個(gè)頂點(diǎn)有三條棱，總面數(shù)少于30。 問：有多少種多面體，每個(gè)多面體的4、5和6邊形分別幾個(gè)？ 我先用歐拉公式套，假設(shè)4、5和6邊形分別a、b和c個(gè)，則2a+b=12。所以7面體可以是6個(gè)4邊形加一個(gè)6邊形或5個(gè)4邊形加2個(gè)5邊形，但顯然6個(gè)4邊形加一個(gè)6邊形不能成為一個(gè)凸多面體。7面體可以簡(jiǎn)單想想就排除6個(gè)4邊形加一個(gè)6邊形，如果面數(shù)多了就不知道如何排除這個(gè)？ 另外，從六面體（每個(gè)面都是4邊形）開始，假設(shè)每次削掉一條棱增加一個(gè)面，能否一直滿足以上多面體的條件。 |
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hank612
至尊木蟲 (著名寫手)
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一點(diǎn)想法，不是答案。 考慮Planar Graph平面圖，它是凸多面體的對(duì)偶圖，因此滿足：每個(gè)面都是三角形， 且每個(gè)頂點(diǎn)度數(shù)為 4，5或6， （那么新的約束 2*(degree 4)+(degree 5)=12） 現(xiàn)在，從任意一個(gè)平面圖出發(fā)，作三角剖分，可以嘗試用相鄰兩個(gè)三角形的diagonal exchange 平均化頂點(diǎn)度數(shù)，可以連接兩個(gè)度數(shù)為三的頂點(diǎn)（并且增加新頂點(diǎn)）消滅度數(shù)為三的頂點(diǎn)。 通過上述方法，可以很容易得到滿足要求的平面圖， 但計(jì)數(shù)就毫無辦法了。 |
2樓2014-03-12 12:53:58
xu_k
銀蟲 (小有名氣)
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3樓2014-03-14 03:59:18
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