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zhuyunfy新蟲 (小有名氣)
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[交流]
電子的定域性與相關(guān)穴：文/Sobereva First release: 2011-Jul-12 已有2人參與
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http://hi.baidu.com/sobereva/item/0fdcf532597122352f20c4c3 以下內(nèi)容摘自上邊的這個鏈接 3 電子的相關(guān)穴簡介 ρ(r1,r2)稱為（無自旋）電子對兒密度，是r1處和r2處同時各自發(fā)現(xiàn)一個電子的概率（任何自旋皆可），或者說是在r1和r2間出現(xiàn)一個電子對兒的概率，寫為： ρ(r1,r2)=N(N-1)∫∫...∫|Ψ(x1,x2..xN)|^2 ds1 ds2 dx3 dx4..dxN 此處樓主筆記：因為體系總波函數(shù)表達(dá)式Ψ(x1,x2..xN)是已知的，所以ρ(r1,r2)可通過上式獲得，即可以認(rèn)為ρ(r1,r2)是已知量。 ρ(r)就是一般所說的（單）電子密度。ρ(r1,r2)與它的關(guān)系可寫為： ρ(r1,r2)=ρ(r1)ρ(r2)*[1+f(r1,r2)] 此處樓主筆記：因為ρ(r1,r2)、ρ(r1) 和ρ(r2)均可通過總波函數(shù)獲得(即為通過積分消去其他不相關(guān)的獨(dú)立變量)，所以由此式可獲得相關(guān)因子函數(shù)f(r1,r2) 相關(guān)因子函數(shù)f(r1,r2)和相關(guān)穴函數(shù)h(r1;r2)是直接相關(guān)的： h(r1;r2)=ρ(r2)*f(r1,r2)=ρ(r1,r2)/ρ(r1)-ρ(r2)=θ(r2;r1)-ρ(r2) 此處樓主筆記：若已獲得f(r1,r2)則可以由上式獲得h(r1;r2)，同樣由上式獲得θ(r2;r1) 4 電子定域性與相關(guān)穴的關(guān)系 F(Ω,Ω)是域內(nèi)電子的相關(guān)穴在Ω內(nèi)的積分，F(xiàn)(Ω,Ω)是域內(nèi)電子相關(guān)程度的度量 F(Ω,Ω)=∫{Ω}∫{Ω}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2 此處樓主筆記：ρ(r1)和ρ(r2)可以通過總波函數(shù)積分獲得，f(r1,r2)也是可以獲得的，所以可以由上式獲得F(Ω,Ω)。 以下是樓主的一些難點(diǎn)討論 關(guān)于f(r1,r2)與f(r2,r1)是否對等的討論： ρ(r1,r2)=ρ(r1)ρ(r2)*[1+f(r1,r2)] 把這個式子的r1和r2互換位置，則等式依然成立，即為ρ(r2,r1)=ρ(r2)ρ(r1)*[1+f(r2,r1)] 由之前對ρ(r1,r2)物理意義的討論可知，ρ(r1,r2)為總波函數(shù)中對除了電子1和電子2之外的其他電子的坐標(biāo)進(jìn)行積分得到的表達(dá)式，所以ρ(r1,r2)與ρ(r2,r1)相等，即為ρ(r1,r2)=ρ(r2,r1)；所以依據(jù)上式，可得：ρ(r1)ρ(r2)*[1+f(r1,r2)]=ρ(r2)ρ(r1)*[1+f(r2,r1)]；又由于ρ(r2)ρ(r1)=ρ(r1)ρ(r2)，所以可得兩個相關(guān)因子函數(shù)的關(guān)系：f(r1,r2)=f(r2,r1)。 原式h(r1;r2)=ρ(r2)*f(r1,r2)=ρ(r1,r2)/ρ(r1)-ρ(r2)=θ(r2;r1)-ρ(r2)互換電子1和電子2的位置后可以得到：h(r2;r1)=ρ(r1)*f(r2,r1)=ρ(r2,r1)/ρ(r2)-ρ(r1)=θ(r1;r2)-ρ(r1)。類似分析可以得到h(r1;r2)不等于h(r2;r1)；以及θ(r2;r1) 不等于θ(r1;r2)。 那么F(Ωb,Ωa)=∫{Ωa}∫{Ωb}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2與F(Ωa,Ωb)= ∫{Ωb}∫{Ωa}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2是否相等呢？ 以上二式實際上是互換了兩個電子的積分區(qū)域。第一個表達(dá)式表示r1電子在區(qū)域Ωb內(nèi)變動，r2電子在區(qū)域Ωa內(nèi)變動；第二個表達(dá)式表示r1電子在區(qū)域Ωa內(nèi)變動，r2電子在區(qū)域Ωb內(nèi)變動。一般來說r1電子意味著用第一個單電子波函數(shù)描述的電子，r2電子意味著用第二個單電子波函數(shù)描述的電子，這兩個波函數(shù)一般是不同的。 為了簡化起見，現(xiàn)假設(shè)區(qū)域Ωa和區(qū)域Ωb的體積均為單位體積，且在這個單位體積內(nèi)，無論電子1還是電子2，其密度分布都是均一的，且電子1在區(qū)域Ωa內(nèi)的密度為10在區(qū)域Ωb內(nèi)的密度為1，電子2在區(qū)域Ωa內(nèi)的密度為1且在區(qū)域Ωb內(nèi)的密度為10；再假設(shè)在區(qū)域Ωa任選一點(diǎn)，并在區(qū)域Ωb內(nèi)任選一點(diǎn)，所得的f(r1,r2)和f(r2,r1)等均為不變量(之前得出的f(r1,r2) =f(r2,r1)不知道是否正確，這里不敢用這個等式)。 F(Ωb,Ωa)=∫{Ωa}∫{Ωb}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2 表示電子1在區(qū)域b內(nèi)，電子2在區(qū)域a內(nèi)，因此其數(shù)值為F(Ωb,Ωa)=1*1*f(r1,r2)。F(Ωa,Ωb)=∫{Ωb}∫{Ωa}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2表示電子1在區(qū)域a內(nèi)，電子2在區(qū)域b內(nèi)，因此其數(shù)值為F(Ωa,Ωb)=10*10*f(r1,r2)。可以得出二式差別較大，但原文中說F(Ωa,Ωb)=F(Ωb,Ωa)，不知道我的理解錯在哪里。 |
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zhuyunfy
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3樓2014-04-22 06:37:26
sobereva
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
gmy1990: 金幣+3 2014-04-22 04:27:02
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
gmy1990: 金幣+3 2014-04-22 04:27:02
| 感覺你有點(diǎn)鉆牛角尖了，有一個關(guān)鍵點(diǎn)沒把握住，也就是r1和r2是全同粒子，特征完全相同，不可分辨。顯然f(r1,r2)與f(r2,r1)是必然相等的，電子的標(biāo)號可以等價地互換。F(Ωb,Ωa)=∫{Ωa}∫{Ωb}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2與F(Ωa,Ωb)= ∫{Ωb}∫{Ωa}ρ(r1)ρ(r2)f(r1,r2)dr1dr2更是必然相等，只不過把積分順序改了，不光是物理意義上，從數(shù)學(xué)意義上這也必然是等價的。 |
2樓2014-04-21 23:01:10
jiangning198511
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4樓2014-04-22 10:21:57
sobereva
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
gmy1990: 金幣+2 2014-04-22 15:47:28
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
gmy1990: 金幣+2 2014-04-22 15:47:28
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行列式這種思考方式太狹義了，要從物理本質(zhì)上想。 不要把r1、r2當(dāng)成兩個特定電子，因為這是全同粒子體系，沒法說1號電子、2號電子... 諸如ρ(r1,r2)代表在r1位置發(fā)現(xiàn)一個電子的同時在r2位置上發(fā)現(xiàn)一個電子的概率密度，ρ(r2,r1)代表在r2位置發(fā)現(xiàn)一個電子的同時在r1位置上發(fā)現(xiàn)一個電子的概率密度，顯然這兩個是一回事。對于f、F也是如此。 |
5樓2014-04-22 11:01:17
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