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[求助] 請(qǐng)教一個(gè)極限的求解已有3人參與

各位大神，請(qǐng)問下面一個(gè)極限是如何求解的？謝謝解答。

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1樓 2014-08-04 16:09:11

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【答案】應(yīng)助回帖

這個(gè)極限不收斂。理由如下：
設(shè)

$a_n=\prod\limits_{i=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

則

$b_n=\ln a_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\frac{1}{\sqrt{1+4^{-i}}}$

即

$b_n=(-1)^{n+1}\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

下面考慮：

$c_n=\sum\limits_{i=0}^n\ln\sqrt{1+4^{-i}$

注意到：

$0<4^{-i}\leqslant 1(i=0,1,2,\cdots)$

所以就有：

$0<\ln\sqrt{1+4^{-i}\leqslant\frac{1}{2}\ln 2(i=0,1,2,\cdots)$

因此， $c_n$ 單調(diào)遞增，
設(shè)

$a_n,b_n,c_n$

如樓上的定義，則 $c_n$ 單調(diào)遞增，從而有極限（有限或正無(wú)窮），于是有 $c_n\to c(n\to+\infty)$ ，故 $b_n=-c_n\to -c(n\to+\infty)$ ，因此就有 $a_n=e^{b_n}\to e^[-c}(n\to+\infty)$ ，所以所給的極限收斂。

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8樓2014-08-05 05:42:19

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引用回帖:

3樓: Originally posted by 黑洞再世 at 2014-08-04 23:24:36
抱歉啊，想不出來(lái)，不過我猜測(cè)是化為三角函數(shù)來(lái)解，因?yàn)榕c復(fù)變函數(shù)有些關(guān)系的。。。腦袋飽了。。。

這個(gè)是我看CORDIC算法的時(shí)候遇到的，設(shè) tan(theta_k)=1/2^k;
求解 cos(theta_k)累積的極限。

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11樓2014-08-05 09:17:12

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
zwclyq: 金幣+3, ★有幫助 2014-08-05 09:12:37

你覺得這個(gè)是收斂的么？

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學(xué)術(shù)無(wú)國(guó)界。

2樓2014-08-04 21:44:58

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
zwclyq: 金幣+2, ★有幫助, 是三角函數(shù)轉(zhuǎn)化來(lái)的，同樣很感謝你。 2014-08-05 09:15:10

抱歉啊，想不出來(lái)，不過我猜測(cè)是化為三角函數(shù)來(lái)解，因?yàn)榕c復(fù)變函數(shù)有些關(guān)系的。。。腦袋飽了。。。

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3樓2014-08-04 23:24:36

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thekissofgod

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答案是e^(1/6)

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此時(shí)不博何時(shí)博

4樓2014-08-05 00:48:14

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這個(gè)極限應(yīng)該收斂

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5樓2014-08-05 01:39:49

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http://math.stackexchange.com/qu ... f-eulers-q-function

極限明顯是收斂的, 但是沒有解析表達(dá)式. 它的值與Q-Pochhammer symbol有關(guān), 軟件可以給出數(shù)值解. 上面的連接很值得一讀. 希望對(duì)你有幫助.

另外, 從數(shù)值解來(lái)看, 4樓的答案肯定是錯(cuò)的.

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We_must_know. We_will_know.

6樓2014-08-05 04:39:03

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Edstrayer

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feixiaolin: 屏蔽內(nèi)容, 亂碼。內(nèi)容不清 2014-08-05 06:51:18

本帖內(nèi)容被屏蔽

7樓2014-08-05 05:39:49

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【答案】應(yīng)助回帖

上面搞錯(cuò)了一個(gè)符號(hào)，設(shè)

$a_n,b_n,c_n$

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9樓2014-08-05 05:57:30

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引用回帖:

2樓: Originally posted by Nonsmooth at 2014-08-04 21:44:58
你覺得這個(gè)是收斂的么？

我學(xué)的是通信專業(yè)，在運(yùn)用CORDIC（數(shù)學(xué)專業(yè)的應(yīng)該比我更了解這個(gè)算法吧，呵呵）算法設(shè)計(jì)數(shù)字鎖相環(huán)的時(shí)候遇到這個(gè)問題，文獻(xiàn)中只給出工程數(shù)值是0.607，應(yīng)該是收斂的。

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10樓2014-08-05 09:14:32

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