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felix2018鐵桿木蟲 (正式寫手)
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[求助]
大神們來看下這樣的一個(gè)等式的證明。求指教，謝謝了�。�！ 已有1人參與
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對于這樣的一個(gè)等式，該如何證呢？希望大神們可以說說思路�。�！ 6.png |
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felix2018
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4樓2014-09-13 20:44:03
hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
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felix2018: 金幣+10, ★★★★★最佳答案 2014-09-14 09:49:06
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長文慎入, 以免自誤. 我們的目的是在假裝只有左邊的情況下, 直接計(jì)算出右邊.然后比較答案,如果一樣,就成了一個(gè)證明. (1) 先做變量替換 k=j-l, 把求和變量 j=l 到 q-n 換成 k=0 到 q-n-l. 在對k求和的兩個(gè)組合數(shù)乘積中, l卷入兩個(gè)數(shù), 不適合求和. n在下邊, q在上邊都只出現(xiàn)一次, 適合求和. 考慮到追求高大上, 我們攻擊q. (2)趁手的工具是Newton二項(xiàng)式展開 (3)由于(q choose n+l+k)=( (n+l+k+1)-1+(q-n-l-k) choose (n+l+k+1)-1), 所以對q的求和應(yīng)該是 q-n-l-k=0 到無窮, 同時(shí)乘以級(jí)數(shù)因子 x^{q-n-l-k}. 但是k本身是求和符號(hào), 所以最后是迫不得已乘以 x^{q-n-l},只是x^{q-n-l-k}參與對q的求和, 多出來的x^k放到對k的求和中. 總結(jié)一下(3)就是: 左邊乘以 x^{q-n-l},然后對q的求和是 q-n-l =0 到無窮. (4)交換求和順序, 變成: k=0到無窮在外層, 里面是: q-n-l-k =0到無窮.套用公式后發(fā)現(xiàn), (5) 提出一個(gè)因子(1+x)^{-(n+l+1)}后, 里面又是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Newton二項(xiàng)式, 只是變量是 -x/(1+x). 不用客氣,再用一次, 得到 (1+x)^{-(n+l+1)} * ( 1+ (-x/(x+1)))^{-(l+1)}. 這個(gè)式子看上去很復(fù)雜, 但是確實(shí)等于 (1+x)^{-n}. (6) 因此左邊的K求和就是(1+x)^{-n}中x^{q-n-l}的系數(shù)而已, 也就是老朋友Newton二項(xiàng)式中的 (q-l-1 choose n-1). 恰好吻合. |
2樓2014-09-13 04:25:00
felix2018
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3樓2014-09-13 11:22:58
felix2018
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5樓2014-09-14 09:56:30
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