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vincentyoung新蟲(chóng) (初入文壇)
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[求助]
拉普拉斯變換，求解超簡(jiǎn)單的ODE，初始條件不為零怎么解決啊？？ 已有1人參與
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初始條件不為零的微分方程用拉普拉斯變換怎么做？ y′′′ −2y′′ +5y′ =0 y(0) = 0,y′(0) = 1,y(pai/8) = 1 |
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feixiaolin
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2樓2014-10-01 07:59:58
vincentyoung
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3樓2014-10-01 08:18:16
peterflyer 
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
feixiaolin: 金幣+5 2014-10-01 10:23:19
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feixiaolin: 金幣+5 2014-10-01 10:23:19
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先假設(shè)y''(0)=a 。兩邊拉氏變換后： s^3*U-s^2*0-s*1-a-2*[s^2*U-s*0-1]+5*[s*U-0]=0 [s^3-2*s^2+5*s]*U=s+a-2 U=(s+a-2)/(s^3-2*s^2+5*s) =(s+a-2)/{s*[(s-1)^2+2^2]} =A/s+[B*(s-1)+2*C]/[(s-1)^2+2^2] =A*1/s+B*(s-1)/[(s-1)^2+2^2]+C*2/[(s-1)^2+2^2] 由待定系數(shù)法可得： A= B= C= 故y=L^(-1)[U]=A+B*e^x*Cos[2*x]+C*e^x*Sin[2*x] 將y(pai/8) = 1代入上式，從而求出a的值。最后將a代回上式便得到原微分方程的解。 解題思路已經(jīng)明確，已無(wú)任何問(wèn)題了，詳細(xì)的計(jì)算由樓主自己進(jìn)行吧。呵呵。 |
4樓2014-10-01 09:04:35
peterflyer
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5樓2014-10-01 09:12:25
peterflyer
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【答案】應(yīng)助回帖
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vincentyoung(feixiaolin代發(fā)): 金幣+2 2014-10-01 10:24:20
vincentyoung(feixiaolin代發(fā)): 金幣+2 2014-10-01 10:24:20
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俗話說(shuō)救人救活，殺人殺死。還是由我將其完全算出來(lái)吧。 由待定系數(shù)法： A=(a-2)/5;B=-(a-2)/5;C=(a+3)/10 y=(a-2)/5-(a-2)/5*e^x*Cos[2*x]+(a+3)/10*e^x*Sin[2*x] 將y(π/8) = 1代入上式： 1=(a-2)/5-(a-2)/5*e^(π/8)/sqrt(2)+(a+3)/10*e^(π/8)/sqrt(2) 解得：a=7 故：y=1-e^x*Cos(2*x)+e^x*Sin(2*x) 經(jīng)驗(yàn)算，所有的條件均得到滿足，因此所求的解正是原微分方程的解。 解題完畢！ |
6樓2014-10-01 09:44:29
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