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你的網(wǎng)格金蟲 (正式寫手)
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[求助]
為什么流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度是渦量的1/2？ 已有1人參與
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| 渦量從數(shù)學(xué)上看，是環(huán)量趨向某點(diǎn)的極限；從物理上看，是微小球狀流體團(tuán)對(duì)其旋轉(zhuǎn)軸動(dòng)量矩的度量。為什么流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度是渦量的1/2？感覺(jué)學(xué)了這么久了，這個(gè)關(guān)系一直沒(méi)有得到證實(shí)，書上是直接給出的，很奇怪，拿出來(lái)請(qǐng)教一下！ |
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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旋轉(zhuǎn)速度張量你知道嗎？用的是這個(gè)。 把速度求梯度，得到一張量，顯然該張量表示流體中相應(yīng)位置距離很近的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和總應(yīng)變之和。任一張量可以分解成一個(gè)對(duì)稱張量和一反對(duì)稱張量之和。易證該張量的對(duì)稱部分表示總應(yīng)變，反對(duì)稱部分表示其剛體旋轉(zhuǎn)。反對(duì)稱張量（自由度為3）可由一向量表示，該向量稱為對(duì)偶向量(dual vector)。（一般在講這部分的時(shí)候都會(huì)引入向量的指數(shù)表示法index notation，證明非常方便。）。可以證明這個(gè)對(duì)偶向量恰為速度在該處的渦量（或者說(shuō)渦量正是這么定義的）。此時(shí)，在用渦量表示反對(duì)稱陣的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)一個(gè)1/2。也就是說(shuō)切向速度=反對(duì)稱陣 點(diǎn)乘 距離r = 1/2 渦量 叉乘 距離r。所以說(shuō)角速度 = 1/2 渦量。 上面說(shuō)的是證明思路，因?yàn)闆](méi)法用公式編輯器，沒(méi)法直接給你寫，得你回去自己推一下。用到的是了指數(shù)表示下的“單位交錯(cuò)張量alternating unit tensor”來(lái)表示叉乘運(yùn)算以及 單位交錯(cuò)張量 乘 反對(duì)稱張量 = 對(duì)偶向量，再以及 1/2 對(duì)偶張量 乘 單位交錯(cuò)張量 = 反對(duì)稱張量。 |
2樓2014-10-07 08:23:54
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3樓2014-10-07 11:15:47
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4樓2014-10-07 11:26:17
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5樓2014-10-08 07:02:22
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6樓2014-10-08 16:39:47
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7樓2014-10-09 01:38:36
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