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[求助] 代數(shù)問題已有1人參與

向各位大蝦請教一個代數(shù)問題:如果f(x)與g(x)是互素的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,是否存在多項(xiàng)式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x)?謝謝!

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1樓 2014-10-28 07:12:44

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sskkyy

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
wangyymm: 金幣+20, ★有幫助 2014-10-28 21:24:54

不一定。比如f=1,g=x. 假設(shè)存在h^3=1+x^3. 則h的degree =1. 設(shè)h=ax+b. 直接計(jì)算發(fā)現(xiàn)不可能有這樣的a,b.

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2樓2014-10-28 11:49:18

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wangyymm

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大蝦,能否證明 : 如果f(x)與g(x)是互素的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,則不存在多項(xiàng)式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 謝謝!

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3樓2014-10-28 21:24:19

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引用回帖:

3樓: Originally posted by wangyymm at 2014-10-28 21:24:19
大蝦,能否證明 : 如果f(x)與g(x)是互素的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,則不存在多項(xiàng)式h(x)使得f^3(x)+g^3(x)=h^3(x). 謝謝!

不能。比如f=1,g=-1，h=0.滿足你的要求。

[ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ]

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4樓2014-10-28 23:29:13

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hank612

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引用回帖:

我們可以證明: 如果多項(xiàng)式f(x), g(x),h(x)滿足 max(deg(f), deg(g))>0 , (f,g)=1, 那么一定不會有f^3+g^3=h^3.

證明:  用反證法.

(1) 如果 $f^3 +g^3=h^3$ , 那么deg(f),deg(g),deg(h)三個數(shù)至少有兩個相等. 不妨設(shè) $deg(f)=deg(g)\geq 1$ , 否則考慮 (-h)^3 +g^3=f^3.

(2) $h^3= (f+g)\cdot (f^2-fg+g^2)$ . 由于(f,g)=1, 因此 $(f+g, f^2-fg+g^2)=(f+g, -3fg)=1$ . 如果不可約一次因子p(x)|(f+g),  那么因?yàn)閜^3|h而p不整除(f^2-fg+g^2), 所以p^3|(f+g).也就是說:
存在多項(xiàng)式p(x),q(x)使得: $P^3= f+g, q^3=f^2-fg+g^2.$

(3)這提醒我們用Euler 的降次法. 讓 $c_1=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}, c_2=\frac{3-\sqrt{3}i}{2},$
則 $q^3=(p^3-g)^2-(p^3-g)g+g^2=p^6+3g^2-3p^3g=(p^3-c_1g)(p^3-c_2g)$
因?yàn)?(p,g)=1, 所以 $(p^3-c_1g, p^3-c_2g)=1$ , 因此存在多項(xiàng)式r(x), s(x)使得
$r^3= p^3-c_1g, s^3=p^3-c_2g.$ 也就是說, $c_2r^3-c_1s^3=(c_2-c_1)p^3$ .
這時候, $max(deg(r),deg(s), deg(p)) \leq max(deg(p), \frac{deg(g)}{3}) \leq \frac{deg(g)}{3}.$
順便指出,   $max(deg(r),deg(s), deg(p)) \geq 1$ (為什么?)

(4) 用這種無窮降次法, 最后一定達(dá)到這個唯一的情況:  a^3 +b^3+c^3=0, 其中 deg(a)=deg(b)=1, deg(c)=0.
然而, sskkyy蟲友明確提出這種情況不存在, 所以矛盾.

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We_must_know. We_will_know.

5樓2014-10-29 02:39:47

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wangyymm

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6樓2014-10-29 19:14:27

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лл!

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7樓2014-10-29 19:15:32

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怎么證明15次割圓多項(xiàng)式在任何有限域上都可約？

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8樓2014-10-31 09:42:58

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9樓2014-10-31 10:50:09

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